译者: [遇见翻译小组] 亚丽(遇见的一位老友)、子长(韩子长天津四中高三应届毕业生)
英文: https:///JNvgms1989 年，美国国家数学教师委员会(NCTM)将数学表达与交流能力确定为校园数学课程和评价标准的五大重要目标之一。将近 30 年来，NCTM 一直建议所有数学水平的学生（包括小学、初中和高中生）进行更多的写作、反思和澄清他们的数学思维，讨论数学想法与论点。他们还建议数学教师努力创造课堂环境，来让学生练习和提高口头和书面表达数学思想的能力。然而遗憾的是，只有少数学生进入大学时，已经具备了数学写作与表达的功底。许多高中毕业生还是欠缺、甚至相当匮乏这样的能力，这些“失败案例”甚是普遍。如何教导学生们正确迈入大学数学之门，是顺利接受大学教育的重要环节。正在向大学数学过渡的学生可能面临与他们高中经历完全不同的教学节奏，并对自己产生一些更高的期望，但这些期望却并没有更成熟的体系支撑。那么是什么迫使众多学生死记硬背数学知识？又是什么使理解学校所学成为众人一项艰巨的任务？问题的根源是数学课程的内容吗？还是教学方式的失误使学生无法理解课程的内容？亦或是学生选错了参考书籍？原本随着学生的成长、数学能力和知识不断丰富，相应他们的数学表达与交流能力也应该提升。面对这样状况，其实暴露了学生数学写作能力上欠缺培养与锻炼的短板。数学沟通数学沟通能力作为数学教育的重要组成部分，是一种分享思想和解释知识的方法。通过交流，学生逐渐反思、提炼、讨论和修正自己的想法。然而，学生在课堂上所接受相应练习相当有限的，甚至几乎没有。这自然导致很难进行顺畅的数学沟通与交流。相比之下，在数学表达方面经过综合训练（听、说、读、写）具备数学思维的学生往往获得两大优势，即数学学习方法和数学沟通与表达技巧。 美国著名语言学家本杰明·霍夫(Benjamin Whorf)的理论认为，语言是思维高级阶段所必需的，一个人的语言结构塑造了他/她对世界的理解。为了无碍进行交流，交流双方必须使用一种共同的语言。而在数学来说，它自己的语言与符号可能比其他任何领域都要复杂，有些数学符号在不同的语境中会有不同的含义，而且相当抽象。即使学生用规范正式语言理解了数学，他们彼此讨论时也会使用一般语言，这样更容易理解概念。数学能力是数学教育对每个学生的一个目标，而经常让学生参与数学教育，希望能引导他们走向新的认知和联系。因此，这一意图完全取决于学生掌握数学经验的质量就是理所当然的了。那些专注的教师，深刻地阅读数学内容和教育知识，把这种逻辑运用到教学中，有意地建立富有成效的学习活动，以吸引和激励他们的学生。发展所有教师的专业知识，以达到这一承诺的水平，需要学校和数学教育系统管理官员的支持和行动。教师们一致认为，有效的师生交流在明确的教学任务与目标和进行更深入的数学学习上具有重要意义。学生应该参与到解决问题中来，这些问题可以是课上所提出的，还可以是那些发生在现实生活中的，数学表达在此时就显得至关重要了。而且表达他们的想法将有助于教师指导学生更充分地理解数学知识，也有助于学生们进行相关推理，而老师也可以通过学生的表达鼓励他们建立数学知识间的联系。尽管学生可以通过大量的数学训练学习这门语言，但 “正确且简明扼要的表达”仍是其主要目标。数学表达数学的表达与陈述是指学生以图形方式组织、记录和陈述数学思想的过程，它强调了相互交流在数学学习中的关键作用。而如果学生们数学推理的阐述有着强烈的渴望将更有助于营造出更富有成效的学习氛围。 表达陈述在学生的学习中是很有帮助的。数学理解地提高需要学生们从数学表述中提炼要点，创建和抽象数学思想的视觉化有助于建立数学概念之间的联系。认知科学领域的研究证明，把问题的抽象和具体表现联系起来可以提高学习效果。而在数学中，将图形与视觉描述相交叉表达更可以促进深刻的理解。从花拉子米到欧拉，整个数学都围绕着代数过程和符号展开。这种在 19 世纪到 20 世纪之间得到发展和形成的代数观点是一种处理符号和解决问题的工具，你可以在学校的代数课程中得到了印证。和以往求学者一样，今天的学生无疑也在努力接纳这一复杂的数学工具，但他们往往因其抽象且错综复杂的细节而抓狂。在设计编写教学活动的过程中，教师应“根据学生的思维的变化，对他们的推理加以解释，并通过例子对它的本质加以说明”。如果教师提供给学生们更多机会，来使他们彼此交流他们对数学的思考，他们对数学表达的热情便会与日俱增。即使学生还没有具备相应的表达技巧，他们也可以事先记录下自己的想法。即使他们的文章中会有拼写、语法或标点的错误，我们也要对学生们的写作讨论及信息分享加以肯定与支持，从而使这些“明日作家”对数学表达饱含热情，那么渐渐的，他们对这些表达技巧的悟性便会有所提高。在这样的目的下，提高学生数学表达能力最可靠的方法之一便是“赋予学生一种创新意识”。当他们意识到自己有作家一样的的理解力，而其他人也在审视自己的写作时，他们便更热衷于投入更多的时间和精力来写好数学。但仅仅指望学生证明他们的想法的正确是不够的，他们必须认识到效率的重要性，同时要了解提高效率的方法。从学生们低年级时，就应向学生传授必要的技能，并给予充分的机会为今后的发展做准备。推理和证明学生应认识到，推理与论证是数学学科的重要组成部分。作为学生而言，拥有良好的沟通能力对于 “提出并研究猜想” 或 “对猜想的推理与证明” 来说必不可少的。对于数学家来说，证明本质上是要有关键想法的；对许多学生来说，则不必这样，需要建立并利用数学想法之间的关系，知道数学概念是如何相互联系并建立在彼此的基础上，从而构建出一致的知识体系。他们必须分析和评估他人的数学思维和策略、使用数学语言准确地表达数学想法。研究表明，无论是高中还是大学，学生不但在证明方面有困难，而且甚至都还不清楚什么是证明。然而，学生本应该能够“在数学之外的情境中认识和应用数学”，只有通过认真思考来使自己的思想条理化，并下定决心用文字来表达这些思想，学生们才能学会更深刻地思考，重视自己的理解，建立思维联系，明确其重要性，并比较不同的想法，从而得出不错的结论。许多学生们初见到一个详细的、结构化的证明时，大多数人的反应是：“它太繁琐了，这些过程细节我并不想深究 ，能否只读概要大纲或者其中一些有意思或考试用得到的结论。”当如果能克服这些问题，那么对数学的理解能力便会大大提高。当然，证明过程的表述必须准确、足够详细，而对数学符号的熟悉则是首要前提。数学问题的解决与写作数学写作与表达是一个过程，在这个过程中我们可以描述我们的结论、表达自己想法和见解。这是一个能使我们重塑思维、完善想法、得出结论的过程。它本身并不完善，它是一种研究和制定内容的方式。那我们为什么不能把数学课上记录笔记与数学写作等价呢？因为记录的笔记通常是数学表达的一个子集。能通过写文章来描述或解释解决问题的策略的学生，他们解决问题的能力往往会有所提高。 数学表达还可以帮助学生们学习数学词汇，而正确使用词汇是数学水平提升的必要条件。运用这些词汇可以让学生思考生词的意义，还可以在自己的词汇中定义，并尝试使用这些新的词汇。通常来说，得分高的学生能够使用更多的词汇，这样可以使用准确的数学语言来阐述他们的观点。大多数学生只在教科书上看到过数学写作内容，而课本中的这些表述受到专业和局限所困。它是专为学生能理解某一数学思想概念或培养某一技能而编写。而学生数学表述主要是为了证明或解释他们的数学思想，这样教科书式的数学写作模式并不适合学生。另外，大多数教科书的内容并没有反映数学是如何发展演变的，学生自然也找不到有关构建数学体系的观点。许多老师指出，一个重要的问题在于学生不能将符号表达式与它们的含义联系起来，进而造成了许多符号误用及滥用。一般来讲，数学教师只注重教学内容，所以推进教学进度和培养学生的数学实践技能，就显得尤为重要，而这些技能在很大程度上取决于能否有效的讲述所学内容，数学课的教学重点最初是计算和过程技巧，很少强调提高学生对数学交流能力的概念认知。在某些情况下，教师会要求学生定义一个数学概念，但往往，绝大多数的课堂时间都用于了计算。当然，计算也是必要的，但它们绝不应该成为数学课的核心。作为教师只讲解数学问题还是不够的，应向学生们介绍在解答过程中易犯的错误，而这将有助于学生们对概念的理解，并将使学生们更容易形成自我监控、自我评估和自我纠正的习惯。具体来说，正误之间的对比可以促进概念的理解、记忆和自我修正。而举例有助于概念的形成，也有助于元认知的形成、思维的培养及知识的增加。同时，在教学中，教导学生“走大路，走对路”亦不容忽视，因为它可以有效降低学生误入歧途的概率。教师应该把数学写作与表达不仅作为数学课的一个必要组成部分，甚至可以在语文课上进行教授。他们不仅要让学生写下他们的数学思想，还应该教导他们数学写作与表达的方法。为了帮助学生对高质量的数学表达有一个全面的认识，教师应该向他们展示数学大咖是如何进行数学写作的。许多教师发现让学生以数学日记的形式记录他们的数学表达最为有效。另外，学生、老师和家长能够通过在日记中的记录看到本人的写作技能和数学知识是如何熟练和进步，以及对概念的理解程度和其他知识与技能的掌握与运用情况。
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