《线性代数C1》练习2参考答案（2学分）
一．填空题
1．A=(1,2,3,4)，B=(1,-1,3,5)，则A·BT= 28 。
2．已知A、B为4阶方阵，且＝－2，＝3，则|5AB|= -3750 。
|(AB)-1|= -1/6 。
3.在分块矩阵A=中，已知、存在，而是零矩阵，则
。
4.设=,则0。
5.已知，则=。
6．设矩阵A=，则A的秩R(A)=2。
7.已知五阶行列式中的第二列元素依次为，它们的余子式分别为则的值为-41。
8.行列式中元素的代数余子式的值为42。
9.计算48。
10.的一组基础解系由2个解向量组成。
11.若向量组线性无关，则1。
12.矩阵的特征值为1，则的特征值为2。
13.已知，则。
14.有非零解，则。
三．计算题
1.设，，求。
解：
=
2．计算行列式。=
3．解齐次线性方程组
解：先给出系数矩阵并对其做初等行变换
，得出原方程组的同解方程组
设得到方程组的全部解为
4．解矩阵方程，其中。
解：由得，因为所以
因而=
5．取何值时，线性方程组有解,并求其解。
解：
当
当
即原方程组与下面方程
同解,其中是自由变量.
得到一个特解为
原方程组的导出组与方程
同解.
得到一个基础解系为:
因此,当:
6.设为3阶矩阵，求=-16
7.设求.
8.设，的元的代数余子式记作，求
9.设有线性方程组，问取何值时，此方程组（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解.
且时，方程组有唯一解；
，方程组无解；
，方程组有无限多解，其通解为
10.求向量组的秩，并求一个最大无关组.
秩为2，是一个极大无关组。
11.求非齐次方程组的一个解及对应的齐次方程组的基础解系.
12.求矩阵的特征值和特征向量.
解由
，
得到矩阵的三个特征值为。
由
得的基础解系为
，
故属于的全部特征向量为
，
其中为不全为零的任意实数。
由
，
得的基础解系为，
故属于的全部特征向量为
，其中为任意非零实数。
13.为何值时，可由，，唯一线性表示，并写出表示式子。
时有唯一线性表示，
教材P54，例题1
教材P86，例题9
教材P93，例题2
教材P117，例题2
三．证明题
1.设向量组线性无关，证明以下向量组线性无关：
，，。
证明:设，所以
因为线性无关，所以，系数行列式，所以方程只有零解，即，故无关。
2．设阶矩阵满足.证明：可逆并求。
证明:由可得
，进一步，
因此,可逆且。
设证明向量组与向量组等价。
教材P88第6题.
5/5
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