2020深圳中考数学6月冲刺专题爪型问题的转化与构图探究
专题导例
如图1，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，ACB=20°，则ADC的度数是（???）.
A.?55°????B.?60°??????C.?65°???????D.?70°
方法点睛
题目中遇到公共端点的三爪图时，旋转是它的克星，通过旋转把分散的条件（线段或角）整合在一个三角形内解决.旋转时明确旋转中心和旋转角.因此，当我们再遇到类似问题时，首先考虑旋转来解决.
问题：破解策略：共顶点引发的三条（多）条线段.
1、辅助圆的方法
2、旋转的方法
当三条线段不等时或题目隐含等边时，遇多少度旋转多少度，构造手拉手模型（全等或相似）来解决问题.
导例答案：C
典例剖析
类型一：辅助圆类
例1．以△ABC的边AB为底作等腰三角形OAB，且O=2∠C，AC与OB交于点D，若OB=a，OD=a，则AD·DC=.
【分析】由O=2∠C，且都对应了边AB，考虑到同弧所对圆周角为圆心角的一半，因此构造一个以O以圆心，OB为半径的一个圆，从而来解决问题.
类型二:旋转全等类三爪图（由边导角，由角导边进行构造）
例2.在等边三角形ABC中，P是三角形内部一动点.
若BEC=150°，求AP，BP，CP三边的数量关系；
若等边三角形的边长为2,且AP2=BP2+CP2，则P的运动路径是什么？并求其长度.
【分析】（1）将BP绕点A顺时针旋转60°到BP′,可得△BPP′为等边三角形，ABP≌△CBP′.从而可得AP，BP，CP三边的数量关系
（2）结合（1）中所得的结论，由AP2=BP2+CP2，可得CPP′=90°，BPC=150°．点P在圆周角为150°的圆弧上运动，且圆弧所在圆的半径2，圆心角为60°，从而弧BC的长为π.
专题突破
1.如图，AOB＝120°，点P为AOB的平分线上的一个定点，且MPN与AOB互补，若MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：PM＝PN；OM+ON＝OP；四边形PMON的面积保持不变；MN的长度保持不变；△PMN的周长保持不变；其中说法正确的是（）
A． B． C． D．
2．如图，Rt△ABC中，ABBC，AB＝8，BC＝6，P是△ABC内部的一个动点，满足PAB＝PBC，则线段CP长的最小值为（）
A． B．2 C． D．
3．如图，在等边△ABC中，AC＝7，点P在△ABC内部，且APC＝90°，BPC＝120°，直接写出△APC的面积为．
4.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为．
5.如图，矩形ABCD中，AB=BC，点P为矩形ABCD内一点，已知PAPC=∶1，求APB的度数？
6．如图，△ABC是O的内接三角形，AC=BC，D为O中弧AB上一点，延长DA至点E，使CE=CD．
（1）求证：AE=BD；（2）若ACBC，求证：AD+BD=CD
7.如图，△ABC、△ADE为等腰直角三角形，ACB＝AED＝90°．连接BD，取BD中点F，连接CF，EF，CE．求证：△CEF为等腰直角三角形．
8.（2019年十堰市）如图1，△ABC中，CA＝CB，ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上．
（1）填空：CDE＝（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CFAE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若α＝90°，AC＝5，且点G满足AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．
9．（1）【操作发现】
如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，连接BD，则ABD＝度．
（2）【解决问题】
如图2，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，APC＝90°，BPC＝120°，求△APC的面积．
如图3，在△ABC中，ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，若PB＝1，PA＝3，BPC＝135°，则PC＝．
（3）【拓展应用】
如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AB＝4，BC＝3，ABC＝75°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．
专题十一：三爪图问题探究
例1．如下图构造辅助圆，由同弧所对圆周角相等，CDB∽△C′DA.∴＝.
AD·DC=C′D·DB=a·a=a2.
例2.（1）将BE绕点A顺时针旋转60°到BE′,可得△BEE′为等边三角形，ABE≌△CBE′.
∴∠E′EB=60°，E′E=BE，E′C=AE,BEC=150°，CEE′=90°,∴△E′EC为直角三角形，E′C2=E′E2+CE2.
(2)由AE2=BE2+CE2，可得CEE′=90°，BEC=150°，点E在以BC为弦,BC长为半径，圆周角为150°的圆弧上运动，BC=2，△BCD为等边三角形，CD=2，BDC=60°，弧BC的长为π.
专题突破
1.解：如图作PEOA于E，PFOB于F．
PEO＝PFO＝90°，
EPF+∠AOB＝180°，
MPN+∠AOB＝180°，
EPF＝MPN，
EPM＝FPN，
OP平分AOB，PEOA于E，PFOB于F，
PE＝PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
，
Rt△POE≌Rt△POF（HL），
OE＝OF，
在△PEM和△PFN中，
，
PEM≌△PFN（ASA），
EM＝NF，PM＝PN，故正确，
S△PEM＝S△PNF，
S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故正确，
OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE定值，
Rt△OPE中，OPE＝30°，可得OP＝2OE，
OM+ON＝OP＝定值故正确，
M，N的位置变化，MN的长度是变化的，故错误，
PM＝PN，MPN＝60°，
PMN是等边三角形，
MN的长度是变化的，
PMN的周长是变化的，故错误．
故选：D．
2．解：取AB的中点O，连接OP，
ABC＝90°，
ABP+∠PBC＝90°，
PAB＝PBC，
BAP+∠ABP＝90°，
APB＝90°，
OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
点P在以AB为直径的O的一部分弧线上，连接OC交O于点P，此时PC最小，其最小值为OC﹣OP，
在Rt△BCO中，OBC＝90°，BC＝6，OP＝OB＝4，
OC＝＝＝2，
PC＝OC﹣OP＝2﹣4．
PC最小值为2﹣4．
故选：D．
3．将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C.APP′是等边三角形.
AP′C＝APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，[来源:Z+xx+k.Com]
PP′＝AP，AP′P＝APP′＝60°.PP′C＝90°，P′PC＝30°.
PP′＝PC，即AP＝PC.APC＝90°，AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝72.
PC＝2.AP＝.S△APC＝AP?PC＝；故答案为．
4.解：AEB＝90°，
点E在以AB为直径的圆上，如图所示，设圆心为O，
AB＝4，AB是O的直径，
OE＝2，
在Rt△OBC中，OC＝，
当点E在CO的延长线上时，CE有最大值，
CE的最大值＝OE+OC＝2+2，
CE的最大值＝2+2．
故答案为：2+2．
5.将△PBC逆时针旋转90°，并按1放缩，得到△P′BA，则△PBCP′BA（相似比1），由题意可设PA=2，PC=1，PA=PC=2.显然在Rt△PBP′中，P′B=PB=，PP′=2，P′PB=60°，由P′P2+AP2=P′A2，可得APP′=90°，APB=150°[来源:Z。xx。k.Com]
6．（1）AC=BC，CAB=∠CBA.∵∠CBA=∠CDE，ACB=∠ECD.
∴∠ACB﹣ACD=∠ECD﹣ACD.∴∠ACE=∠BCD．
在△ACE和△BCD中，ACE≌△BCD.∴AE=BD．
（2）AD+BD=CD,证明：作CFCD，交DA的延长线于F.
AC⊥BC，AC=BC，O在AB上，CAB=∠CBA=45°.
∴∠CDA=∠CBA=45°.∴∠F=180°﹣FCD﹣CDA=45°=∠CDA.∴CF=CD.
∵∠FCD=∠ACB=90°，FCA=∠BCD.
在△ACF和△BCD中,ACF≌△BCD.
∴BD=AF.∴AD+BD=AD+AF=DF.在△DCF中，由勾股定理得：DF==CD．
7.证明：取AD、AB的中点N、M，连接NE、NF、CM、MF，
N、F是AD和BD中点，
NF∥AB，NF＝AB，
M是AB中点，ACB＝90°，
CM＝AB，CMAB，
CM＝NF，
同理EN＝FM，
MF∥AD，
MFO＝DNO，
CM⊥AB，NFAB，
CM⊥NF，
OMF+∠MFO＝ENO+∠DNO＝90°，
OMF＝ENO，
在△FNE和△CMG中，
，
FNE≌△CMG，
CF＝EF，FCM＝EFN，
FCM+∠OFC＝90°，
EFN+∠OFC＝90°，
CFE＝90°．
8.（1）将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE
ACD≌△BCE，DCE＝α．CD＝CE．CDE＝．故答案为；
（2）AE＝BE+CF，理由如下：如图，
将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到△CBE
ACD≌△BCE．AD＝BE，CD＝CE，DCE＝60°．
CDE是等边三角形，且CFDE．DF＝EF＝CF．
AE＝AD+DF+EF，AE＝BE+CF；
（3）如图，当点G在AB上方时，过点C作CEAG于点E，
ACB＝90°，AC＝BC＝5，CAB＝ABC＝45°，AB＝10．[来源:学&科&网Z&X&X&K]
ACB＝AGB＝90°，点C，点G，点B，点A四点共圆．
AGC＝ABC＝45°，且CEAG．AGC＝ECG＝45°．CE＝GE．
AB＝10，GB＝6，AGB＝90°，AG＝＝8．
AC2＝AE2+CE2，（5）2＝（8﹣CE）2+CE2．CE＝7（不合题意舍去）或CE＝1．
若点G在AB的下方，过点C作CFAG，同理可得CF＝7．
点C到AG的距离为1或7．
9．（1）【操作发现】
解：如图1中，
ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，
AD＝AB，DAB＝50°，
＝65°，
故答案为：65．
（2）【解决问题】
解：如图2中，将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，
APP′是等边三角形，AP′C＝APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，
PP′＝AP，AP′P＝APP′＝60°，
PP′C＝90°，P′PC＝30°，
PP′＝PC，即AP＝PC，
APC＝90°，
AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝（）2，
PC＝2，
AP＝，
S△APC＝AP?PC＝××2＝．
如图3，将△CBP绕着点C按顺时针方向旋转90°，得到△CAP′，
CP′＝CP，P′CP＝ACB＝90°，
P′CP为等腰直角三角形，
CP''P＝45°，
BPC＝135°＝AP''C，
AP′P＝90°，
PA＝3，PB＝1，
AP′＝1，
PP′＝＝＝2，
PC＝＝＝2．
故答案为：2．
（3）【拓展应用】
解：如图4中，将△APB绕B顺时针旋转60°，得到△EDB，连接PD、CE．
将△APB绕B顺时针旋转60°，得到△EDB，
ABP＝EBD，AB＝EB＝4，PBD＝60°，
ABP+∠PBC＝EBD+∠PBC，
EBD+∠PBC＝ABC＝75°，
CBE＝135°，
过点E作EFCB交CB的延长线于点F，
EBF＝45°，
，
在Rt△CFE中，CFE＝90°，BC＝3，EF＝2，
＝
即PA+PB+PC的最小值为．
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