来源事实上,三角形有五心,但 旁心并不常用。因此常被称为四心。 三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。 三角形的垂心的性质1. 锐角三角形的垂心在三角形内; 直角三角形的垂心在直角顶点上; 钝角三角形的垂心在三角形外 2.三角形的垂心是它 垂足三角形的内心;或者说,三角形的内心是它 旁心三角形的垂心 3. 垂心O关于三边的对称点,均在△ABC的 外接圆圆上。 4.△ABC中,有六组 四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且AO·OD=BO ·OE=CO ·OF 5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 6.△ABC,△ABO,△BCO,△ACO的外接圆是 等圆。 7.在非直角三角形中,过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则 AB/AP ·tanB+ AC/AQ ·tanC=tanA+tanB+tanC 8.三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到 对边的距离的2倍。 9.设O,H分别为△ABC的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA。 10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与 外接圆半径之和的2倍。 11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的 内接三角形(顶点在原三角形的边上)中,以垂足三角形的周长最短。( 施瓦尔兹三角形,最早在古希腊时期由海伦发现) 12.西姆松(Simson)定理(西姆松线):从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上 13.设锐角△ABC内有一点P,那么P是垂心的 充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。 14.设H为非直角三角形的垂心,且D、E、F分别为H在BC,CA,AB上的射影,H1,H2,H3分别为△AEF,△BDF,△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3。 15.三角形垂心H的垂足三角形的三边,分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。 欧拉线的证法2设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。 三角形的四心连接OD ,又因为O为外心,所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE,有∠ODA=∠EAD。由于G为重心,则GA:GD=2:1。 连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理,OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF 连接FD,有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC,所以∠DFC=∠FCA,∠FDA=∠CAD,又∠OFC=∠MCF,∠ODA=∠EAD,相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2;又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1 又∠ODA=∠EAD,所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长,所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H 三点共线。 |
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