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小学突破这三道门槛,孩子数学你就不用愁了

2020-07-01  我是圭水

今天这个标题源自于这样的教育思想背景:

第一、对于绝大部分儿童来讲,学习数学,不是为了成为数学家,而是为了锻炼逻辑思维能力,或者说促进抽象思维的发展。

第二、数学是一门有关于抽象概念及符号逻辑的学科,并且是一门对于逐级上升要求极高的学科,要让大部分儿童掌握中小学数学,不是难事,只要抓住两点:逐级上升,重视概念与符号的理解应用。

摘录一段数学教育名著《数学的精神、思想和方法》中的一段话给读者们,共勉~

“如果是一步步地循序渐进地学习数学,谁都会达到极高的高度。反之,想一下跳过几个阶段,因懒惰或生病缺席而未学应掌握的定理、法则,就直接去学后面的内容,则无论多么聪明的人都绝不可能学好。这是因为,要理解某个定理甲,就一定要用到在甲定理前所学的某些定理和法则。即是说,数学的一大特征在于:若依其道而行,则无论什么人都能理解它;若反其道而行,则无论多么聪明的人都无法理解它。”

——米山国藏《数学的精神、思想和方法》

由于数学的知识是在人类发展过程中,通过漫长的岁月,许多许多人积累起来的,起初知识都是零散的,是后人不断努力,将它们组织成一个精巧的体系,因此,不要认为儿童自己就能琢磨出数学来,那些极端的自由主义者在这方面实在是误人子弟。但是反过来,如果不遵循层级递进的规律,想要跃进,则更是伤害很大,有损于儿童思维的正常发展。

比如有关于数的认识,历史上发展出来的各种数系,无论从起源还是发展的必要性上都是各不相干,很不统一的,人们可以通过某个角度,将“数”系统的整合到一起,比如,从运算的角度讲:

自然数范围内,加法,乘法乘方可以无限进行,但是减法不能无限进行,所以引入了负数,负数在求解方程前产生,是有其意义的,学习太早并不需要,象现在2-3岁的孩子,家长也去教孩子负数,是完全没有必要的,扰乱了孩子的整体知识结构的发展。但是在正负数范围内,除法不能无限进行,因此引入了分数,从离散量进入了连续量的范畴思考问题。在正负数,分数范围内,开方不可以无限进行,因此引入了无理数及复数,这样就进入了初中数学的领地。

如果我们从方程求解的角度来讲,又可以组织形成另外一套逻辑,让各种数组成一个系统。也就是说,在数学学习的过程中,为了能够建立体系化的知识,我们其实需要不断回顾,联系,反思将知识结构有机的整合到一起,这个过程是充满了“破”与“立”的动态过程,而不是老师把知识单方面传授给孩子,这样知识就是僵化的。

接下来让我来谈谈小学数学中非常重要的三道门槛,也是用来解释我们的教学中缺失的东西,这些门槛是否能很好的跨越,除了孩子的智力发育,其实更为重要的是成人如何引导,侧重点放在哪里的问题。

第一道门槛

数的概念与运算符号

这是最最基础的,但也是最容易被成人忽略的,比如关于数的概念,小学生几乎没有花多少时间学习,可能学校默认这么简单的概念,应该在学龄前就教完了,所以课本也就是象征性讲一讲,但是有关于数的构成,扩大,是如何衔接发生的,相当的零散和不系统。

虽然大家口头上都一直在说“十进制”,但是儿童对于“满十进一”如何发生,以及如何应用到多方面上(比如元角分)显得力不从心,过去我已经讲过很多有关于十进制,数的构成方面的内容了,成人需要利用图形结构来为孩子创建心理意象,理解数构成中的层级结构,这里就不再赘述。

我在下面这篇链接里,我有详细写过数的层级结构

减法退位应该用“借”吗?

在这条里我要详细讲述的是有关于运算符号。

虽然我也不止一次强调过运算符号的意义对于儿童来讲十分重要,也非常抽象,是需要花时间才能全面掌握的,但显然,家长们仍然会被计算问题搞得焦头烂额,顾此失彼。

我依然还是要提醒家长们,所有计算的问题,归根结底是孩子没有掌握符号的逻辑,也就是运算法则。

以小学生的加减法运算为例,从学习加法开始,我就强调要用递等式,通过展开计算步骤,你才能全面的让孩子掌握“➕”“➖”的意义,以及加法的运算法则。

昨日深夜我看到交流群里在讨论一道加减混合运算,孩子对其中的“箭头”符号表示困惑。

我们的课本的确用了类似的图示,但是大部分我看到的图中都没有箭头,只是提供了一种连接的意思。不少家长也画了图:

我也遇到过其他孩子,对于这样的图式掌握不好,主要原因还是在于无法理解其中线条的意义,同样是线条,为何有的表示为加法,有的表示为减法,因为线条均连接到数字上,而忽略了其中的加减符号。

然而这一点恰恰是最糟糕的,对于上述运算图式,我表示强烈反感,它的坏处是:

1、错误的让孩子把数与运算符号孤立起来;
2、错误地让孩子理解“符号”“记号”,比如这里的线条,有着各种意思,但不统一,使得儿童对“符号”的理解过于随意,也不利于他们未来学习更多的数学符号;
3、白白浪费时间,原本应该用来掌握加减法运算法则的时间,用来去理解另外一套教师们自己发明的记号,然而这些记号以后不会再用,或者说再出现时是不同的意义。

通常八字形的线,可以代表拆分,或者分类;箭头则代表转换,或者指向某个结果,箭头所指的数或算式是结果。

而此处的箭头,表示的是30减去20,减号在20前已经有了,为何还要用箭头呢?那么这里的箭头意思就是把前面这个拆分的结果30,与-20结合起来,是一个意义不明确的记号,因此会扰乱儿童头脑中的记号系统,也不符合我们惯常的表征系统。

我们常用的箭头符号的意义,我把它整理在下面了:

第一种:得到某个结果,加减乘除项在箭头上方标注

第二种:乘法一对多的对应关系图式,表示两个对象之间的关系

第三种:一种逻辑关系,代表如果命题A成立,那么命题B也成立

第四种:也是一种逻辑关系,代表两者等价

即便有这样四种,你也能理解这里的“箭头”含义是统一的,都是得到,指向某个结果的意思。

再来看上面的题目,53-20,可能老师认为这个运算如果展开步骤,会涉及加减混合运算,孩子不理解,所以自行创造发明了一套记号,让孩子学习。

但是这不是多此一举,画蛇添足么?费劲学习了一套一年以后再也不会使用的记号,然而对后面正式学习符号逻辑没有帮助。

原本孩子就是应该学习加减法符号的意义,要学会如何应用里头的法则,你一年级不教,二年级也不教孩子递等式,不允许孩子运用结合律交换律,必须按照从左到右的顺序进行计算,到了三年级大数运算,开始出现各种奇奇怪怪的计算错误,这难道不是成人的失误么?

教改的目的是为了减少学生错误,但是为什么不思考一下教孩子计算策略本身的过程不合理,却反而一刀切,干脆低年级不教计算策略,不写计算过程,觉得这样就不出错了?

也难怪家长也被引导得偏离正轨,开始各种心算训练,小到学龄前3-4岁就开始强行通过记忆来训练计算,但实际落到纸上,要求写运算过程,一下子就会暴露弱点了。

这就是开头我引用的那段话里面讲的问题:“想一下跳过几个阶段,因懒惰或生病缺席而未学应掌握的定理、法则,就直接去学后面的内容,则无论多么聪明的人都绝不可能学好。”

要进行大数运算,必然会用到加减法的运算法则,法则体现在哪里?自然是运算过程中,而不是单单一个结果。如果简单的加减运算你还能口算,复杂的呢?多步混合运算呢?心头只要对加减法运算符号略有一丝不懂,就可能引发一系列错误,尤其在加脱括号出现后。

53-20

=33+20-20

=33+(20-20)

=33

按照上面图式的逻辑,把递等式写出来,如此简单、清晰、明了的递等式步骤,为何不能教孩子呢?

由于低年级这道门槛没有过好,因此很多孩子没有掌握运算符号这一符号逻辑,这个基础不扎实,那么在出现乘除法,以及加减乘除混合运算后,就会乱了手脚。

这个时候,成人是通过加大计算量,来强化固化孩子对运算步骤的记忆的,而不是理解性记忆。

这就会直接导致孩子对于运算的结构原理认识不足,难以灵活运用到应用题解题中。诸如带余数除法:

可以拓展到任何两个自然数A与B之间的关系(B不为0):

A=nB+m

除法可以看成是这种带余数除法的特殊情况(余数m=0)

带余数除法用加乘结构表示出来,具有很重要的意义,在带余数除法相关的应用题里也是相当重要的,许多孩子并没有从乘除互为逆运算中,取得对运算结构的理解,因此始终无法突破一些关卡。

有关于除法的相关文章:

缔结加减乘除运算之间的关系

平均分为什么不能2个2个分?

为什么约分后进行带余数除法余数会不同?

除法的两种情景关系:平均除和包含除

如果说第一道门槛,重点在于让儿童在开始学习加减法的开始就要通过递等式来掌握运算法则(包括后面乘除法学习),那么第二道门槛是儿童需要学会从文字题中看到一般化的结构,掌握某种模式规律。

第二道门槛

对象、关系、结构的分析

低年级的文字题是较为简单的一步两步运算,对象也只是一个两个,关系也比较简单,不是变化就是比较。

到了中高年级,文字题的情景越加丰富了,很多人觉得孩子阅读理解不行,所以读不懂题目,实则是缺乏数学语言的训练,没有从数学角度掌握分析问题的窍门。

虽然文字题的情景相当丰富,但是我们依然可以归类,并且通过一定的训练让儿童看到其中一般化的倾向。

一般化的意思就是,我们掌握了某种模式,可以推而广之到所有相关的题目中,而不必局限于题目讲的是水果店的事,还是工程零件的事,是植树的情景还是车站的问题,在模式上都是相似的。

我们要孩子掌握的就是这种一般化的能力。其关键就是三个参数:

第一是对象:这道题目中研究的是一个对象的问题,还是两个对象的问题,还是三个对象的问题。一个对象的问题通常都是有变化的问题,开始怎么样,后来怎么样,过程是怎么变化的。两个对象之间的问题可能是有相互变化的,A给了B多少,整体变化还是不变,或者最为常见的是两个对象之间存在倍数关系,或者我们称为某种对应关系,可以应用乘除法结构去理解。三个对象之间或者多个对象之间,也是同样的道理。

第二是关系:有了对象,自然考虑关系,这个关系很好理解,一种关系是自己与自己的关系,时间上的变化,一种关系是相互比较的关系。简单的题目,只存在一种关系,复杂的题目就有多种关系。这也与对象有几个相关。小学里头最为重要的关系就是整体部分关系了,拿到题目,首先就看整体部分是怎样的。

第三是结构:接着分析完关系,就要把结构清晰的表示出来,结构是关系的细化。整体部分关系到底是加减法的结构,还是乘除法的结构?是单一结构还是复合结构呢?比如加乘结构就是一种复合结构,一个整体,去掉了一部分,也就是有加减法结构,剩下这部分里头是“几个几”的乘法结构,因此这个复合结构里就包含了加减法和乘除法。

有关于对象、关系、结构的训练是很长期,在我数学微课二阶段里是系统的体系,这里我也无法通过一篇短小的文章详述。但总体上原则就是这样的,先从单一的对象入手,简单的关系结构掌握了如何分析,再进入复杂的,而不是简单的没有进行,到了复杂的问题上再去分析对象关系结构。

分析方法是一种思路,一种思考问题的方式,是需要通过很长时间保持一致性地去训练才会有效的。

这种方法虽然是我独创的,除了我的学员,大家应该不会从别的地方看到这种训练方法,但是它符合数学的抽象性发展,符合我们需要培养儿童抽象思维能力的教育目标。通过这样的方法,我们可以让儿童透过现象看本质,不断让他们能够聚焦到数学关系的底层逻辑上。

我认为孩子学习的时间都是很宝贵的,尤其在数学上,不应该浪费时间去学习一套仅用于当前阶段的方法,应该学习的是具有长期可持续发展的思想方法,是有益于他们进入初中高中的学习方法。

在这个过程中,我们要考虑儿童的认知水平,在不同年龄阶段提供不同的形式作为辅助,比如小学阶段,就应当提供图形图式上的辅助,来帮助他们把抽象的数学关系可视化。

但是,图式并不是终极手段,不要把学习图式作为一种目标,这不是目标,这只是工具,即然是工具,我们不同阶段就有不同的使用方法,依赖性也不同。

下面我们就来讲讲第三个道门槛——

第三道门槛

图式应用的进化

低年级可以多运用图式,但是随着抽象思维水平提升,图式本身也会变得更为抽象,甚至到了高年级,我们更应当让儿童把图式内化为结构关系,根据对运算法则的理解来推导运算。

比如,乘法相关的图式,在最早期,我们可能用实物堆砌排列,画点阵图,到了后来学习了倍数,从一个对象的研究,变成对两个对象的关系进行研究,我们会大量运用对应图式,到了高年级,对应关系也进一步转化为比例关系,图式也相应变成了图表式的。

关于如何运用模型图式,不要过度依赖图式,学会如何递进性训练,读者可以查看下面这些链接:

[小问题专栏]数学解题一定要画图吗?CPA三部曲是个什么东东?

平衡系列之四:画图模型原理上的理解与计算技能的熟练

数形结合的思想:小学就应当早早进行铺垫

关于课本中图式的不合理性可以查看下面的链接:

学习乘法,请教会孩子画图

分析三大版本教材中两位数乘法教学的优劣

第三道门槛,是依托于前两道门槛的,也就是说,如果前面两道门槛没有跨越,那么第三道门槛也不能顺利跨越。对图式的理解和应用能否进化,取决于儿童符号逻辑掌握的如何,取决于孩子是否能够看懂关系结构。

让我来给大家举个例子,也是昨日班级家长提出的。

可能读者单纯看这个问题不懂什么意思,我给大家举一个例子。

比如班级女生的数量是整体人数的1/3,女生数量是15人,问全班人数是多少。

家长的意思是,孩子只能理解15*3=45,但是不能理解15➗1/3

这看起来是一个分数计算应用的问题,但是我们入手的时候要从乘除法互为逆运算入手,也可以应用对应关系来解决这个问题。

家长试图通过某种比喻让孩子掌握这种思路,我的意见是:不要进行比喻,因为已经到了高年级了,比喻是具象化的,会使得儿童对于抽象关系结构的理解依然存在着某种偏差,或者说不全面不足不够彻底,因此我们需要从他们对乘法结构的理解入手,让他们的视角落到运算法则本身。

但是我要对读者讲的是,如果孩子前面的基本概念没有掌握,那么你就需要一步步展开,相当于查清楚孩子对其中所有涉及到的概念是否完全理解:

先要从1/3入手,对于1/3的理解是否准确,整体人数的1/3是什么意思?可以举例,如果整体是30,那么整体的1/3是多少,用什么样的算式表达?

算式一:30➗3=10

算式二:30✖️1/3=10

这两个算式将对应儿童不同水平上的理解,如果儿童只能列出算式一,不能列出算式二,比如你换一个分数,不是1/3,而是3/5,孩子依然用类似算式一的方式来做,比如孩子可能会写:

30➗5✖️3=18

而不是

30✖️3/5

那么你就可以利用对应关系图式来类比这里的结构关系:

一对多的对应关系,是乘法里头非常重要的一种情景关系,应用面很广,到了高年级,同样可以让儿童理解分数运算。

即然通过上面的图式,我们可以理解这里存在着乘法结构,那么再利用乘除互为逆运算,就很容易理解:

30✖️1/2=15

15➗1/2=30

到了这一步,如果孩子理解,但是可能还是会存在分数运算的困难,那么我们可能还需要给孩子补充有关于分数除法可以用除法包含除来理解的这个基础。

15➗1/2,理解理解为15里面有几个1/2,即然1里面有2个1/2,所以15里面就有15个“2个”,也就是15*2=30个1/2。

通过画线段图(我这里省略了),可以很清楚地展示出15里面有几个1/2,你当然也可以缩小数字,让图变得更简单一点。

重点的重点是能够推导出:

15➗1/2=15✖️2

一个整体分成三份,取其中一份是1/3,那么这个一份的3倍就是这个整体。意义就是这样的。但是你不能仅仅靠这样的语言论述,而应该让儿童掌握符号的逻辑,运算的逻辑。

在掌握运算逻辑的基础上,就不要继续展开语言的论述,转而应当使用符号运算来推导,这才是数学训练,这种方式适合高年级学生。

好了,今天的文章已经严重超字数了,都6000字了,所以打算停笔了。估计这么长的篇幅又会严重影响阅读量

不过要是阅读的读者能看懂,有收获,我还是很高兴的~同时,请大家继续等待我的书,其实我写这些也都是在为我的书做一些系统整理工作

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