从先天易图到布尔代数——自莱布尼茨谈起

一、

罗素在其《西方哲学史 》中曾说，莱布尼茨是位“千古绝伦的大智者”。而莱布尼茨的大智慧，不仅继承了西方的道统，同时也吸收了来自中国的思想。在我看来莱氏是位东西合璧的学者，否则他的成就便不会有那么大。李约瑟在其《中国科学技术史》专门辟有一节“朱熹、莱布尼茨和有机主义哲学”。美国莱布尼茨专家孟德卫也有专著《莱布尼茨和儒学》问世。他们都承认莱布尼茨受到了中国的影响。其实，莱布尼茨在世时也曾出版过有关中国的著作，例如，《中国近事》和《论中国人的自然神学》。并希望在他的办公室挂一块“中国办事处”的牌子。

莱布尼茨不懂中文，但他却是位的“中国粉”（Sinophile）。因此，探讨莱布尼茨与中国的关系就成为一个比较有价值的大课题。由于课题过大，不可能面面俱到，我就只能挑一个小小的方面切入中国思想对他的影响，以及他对中国哲学理解的不足和我的拓展研究。

在我们普通人的眼中，莱布尼茨首先是为数学家，发明了微积分等。可是我们要讨论的不是这方面的内容，而是他对先天易图所做出的贡献。莱布尼茨曾与法国来华传教士、数学家白晋有过很多封通信。其中就有白晋寄给他的邵雍的先天易图（方圆图）。

莱布尼茨发明了二进制算术，写过一篇“数的新科学”的文章给法兰西皇家科学院，希望籍此文评为院士。但是却受到科学院的拒绝，认为他的那篇文章不过是数学游戏，没有什么应用价值。但收到白晋寄给他的邵雍的方圆图后，他发现先前的“数的新科学”一文终于找到了应用价值，于是又将该文重新修订，起了一个新的名称：“二进制算术解说——关于用二个数字0和1的的用途以及它所给出的中国古代伏羲图的意义的评注”。将其再次提交法国科学院。凭借这篇文章他成为法兰西科学院院士。

那么从中方来看，莱布尼茨的这篇论文实际上是开创了易学研究的新路径。传统的中国易学研究有象数派和义理派，但莱布尼茨的研究却开创了易学的“数理派”先河。莱布尼茨对先天易图的贡献主要有以下二个方面：

1、易图虽然是二元逻辑运算结构，但它本身并非二进制算术。可是他将阴阳爻读成二进制。卦画的读法是从下往上读，例如下震上坤的复卦读成初九、六二、六三、六四、六五、上六，根本不是011111。而他的二进制算术却横着写为逢二进一的格式。

2、阴阳爻被写成数字0和1，我们从未将阴阳爻写成0和1。阿拉伯数字进入中国的时间并不晚，但真正普及开来却还是20世纪的事情。那么在莱布尼茨那个年代他就将其写成0和1，对我们而言不能不说是件“新鲜事”。

由于现代计算机用到了二进制，所以莱布尼茨的二进制算术是否来自中国曾经是中国学界的一桩公案。可是现代计算机用的是布尔代数而非莱布尼茨的二进制算术，因此我认为中国学界的公案没什么大的意义。我倒是认为，莱布尼茨的贡献应该承认。首先给出了易图的新读法，其次将卦画的写法数字化，仅此而已。

我们从来不知道莱布尼茨还对易图有过研究并做出如此贡献。这还要感谢日本政治学学者五来欣造，20世纪他留学法国，见到17~18世纪欧洲文化有那么多中国留下的影响，感到很好奇。于是他便来到德国汉诺威莱布尼茨档案馆，将莱布尼茨对中国易图的研究发掘出来。回国后写成一部《儒教の独逸政治思想に及ぼせる影響》，其中以很大篇幅谈论了莱布尼茨关于先天易图的研究，是他首次发掘出莱布尼茨所见到的先天易图。不幸五来关于莱布尼茨易图研究在日本几乎没有影响，原因在于科学史家及易学专家对政治学不感兴趣，而政治学者则对二进制算术不感兴趣。

后来中国学者刘白闵发现，该书还是很有价值的。于是便将其译成中文，由商务印书馆出版。这才引起中国学者的注意。在我看来，五来欣造的这一关联，可以说是误导了整整一代学者，让他们将大量宝贵的精力耗费在这种无用的争执上，甚至成了这个研究领域的“心病”。德国斯图加特大学教授胡必希曾指出，二进制从它被发明之日起，本来与技术并无关联，莱布尼茨作为发明者“也根本没有考虑到这一理论与计算机的关系。”我以为胡必希的意见是值得重视的。

由于莱布尼茨对易图的贡献，使我们有了启示和跳板，将易图与布尔代数衔接起来。让当代信息技术和计算机科学也能在中国文化中扎根，这才是重要的。

二、

莱布尼茨的研究毕竟是纯粹的数学研究，是易学的数理派的先驱。可是他的研究确实与现代信息技术和计算机科学无关。那么如何超越莱布尼茨直接将先天图和布尔代数在数学之间建立起联系，是我所做的工作之一。莱布尼茨见到过邵雍的先天易图（方圆图），并对其进行了研究。北宋有五位著名的理学家，他们分别是周敦颐、邵雍、张载、程颢和程颐。他们之中，除了邵雍有数学家（不是现代意义下的数学家）的称谓外，其他都没有。不难看出，邵雍的独到之处。同时邵雍的思想也与现代的有许多相通之处。

邵雍终生不仕，潜心学问。除了文字作品如《皇极经世·内外编》、《渔樵问对》和众多诗词歌赋外，最重要的是他传世的四幅易图：《伏羲八卦次序图》、《伏羲八卦方位图》、《伏羲八卦先天六十四卦次序图》和《伏羲八卦先天六十四卦方位图》。这四幅重要的图均载于南宋大儒朱熹（1130~1200）注的《周易》卷首传世。

北宋的易学有个大的“范式转移”，也就是说，以邵雍为首的先天易学取代了以前的后天易学。先天易学与卜筮之学有很大关系，因此后世往往把邵雍作为这个行当的祖师爷。可向有“善易者不卜”的说法。所以，要把邵雍的精华部分提炼出来就是“科学易”最终达到“易科学”，这就是易学数理派的精髓。

邵雍的思想与当代社会有相通之处。他在《皇极经世书：观物外编》中说：“有意必有言，有言必有象，有象必有数，数立则象生，象生则言著彰，言著彰则意显，象数则筌蹄（工具）也，言意则鱼兔也，得鱼兔而忘筌蹄可也，舍筌蹄而求鱼兔，则未见其得也。”不难看出，邵雍对数的重视。接着他又说：“……数起于形，数起于质，名起于言，意起于用。天下之数出乎理，违乎理而入于术，世人以数而入于术，故失于理也。”这段话讲了数最终和理是统一的。可是普通人往往将数和理用于“术”，难怪算命打卦把邵雍片面的理解为“术”之鼻祖了。这便误解了邵雍！

邵雍上述思想可以用当代的语言诠释。人脑中的思想，可以用言语来表达，因之就将其画出来，有了图像，就可以将其转换为数字。那么反过来数字也会还原为图像，进而图像又会转换为言语，言语就会还原为原来的思想。这个过程就是“理”。中间环节不可或缺。那么要实现这种转换就需要工具（筌蹄），在他看来，意、言、象、数的转换的特殊工具就是“月窟”（0）和“天根”（1）。“月窟天根”的反复叠加，无穷变换既能实现意、言、象、数的互变过程。

邵雍的这一思想与莱布尼茨的有相通之处。莱布尼茨也是希望发明一种可以表达万事万物的简单语言，这样整个自然世界的和思想世界也可以用这种基本要素来考虑。这就是他所谓的“人类思想字母表”。借助这个思想表人类世界的一切都可以实现计算化。他于1666年发表的《论组合的艺术》这篇数理逻辑的论文，的基本思想就是把理论的真理性论证归结为一种计算的结果。其中就表现出某些现代计算机理论先驱的模型：一切推理、一切发现等，均能归结为数、字、声、色这些基本元素的有序组合。从这个角度看邵雍和莱布尼茨在思想上是相通的。

邵雍与莱布尼茨在思想上基本相同。到了21世纪，计算机的迅猛发展让人类社会进入了信息时代。而计算机所用的是布尔代数，不是莱布尼茨的二进制算术。计算机只会处理0和1这二个数。那么既然莱布尼茨把易图的阴阳爻写成了0和1，那么如何将其与布尔代数关联起来，就是我一直在思索的问题。我如何超越莱布尼茨的二进制算术，直接将易图与布尔代数做一个等价的数学证明呢？如果能够成功，从思想史上看，还是有价值的。证明其中存在一种大跨度的形式传统存在，即邵雍-莱布尼茨-布尔传统。

三、

莱布尼茨的二进算术与现代计算机用的布尔代数不是一回事。但在我看来，莱布尼茨对易图的最大贡献是开辟了一条新的研究路径。中国人多少年来从来就没有把阴阳爻写成阿拉伯数字（现在也没有）。可莱布尼茨却将其写成0和1。我认为这是了非常不起的贡献。符号写法的不同会产生非常大的影响。牛顿微积分的流数法所采用的符号，导致英国在微积分上落后于德国100年的样子。其关键就在于人们普遍采用莱布尼茨的符号。那么，莱布尼茨之所以重要，就是他用数字0和1代替了阴阳爻。可以说，他的这一符号替代，为古老的易图开辟了新的路径。可是，还是要承认，如何将易图和布尔代数衔接起来才是重要的

当代德国学者伦曾对莱布尼茨的逻辑进行了系统重构，揭示出五个不同的演算系统。分别将其排列为: CL0.4、CL0.8、CL1、PL1和 CL2。其中的CL1可以通过将概念和概念算子映射为命题和命题算子的集合。CL1的演算是由莱布尼茨在1686 年的“General Inquiries”( GI) 中发展出的完全的概念代数。它的演绎等同于或者同构于普通的集合代数。因为莱布尼茨为 CL1 提供了一个完全的公理的集合，因而他早于布尔 160 年发现了“布尔代数”。

那么，能否将邵雍的易图重构为“布尔代数”呢？

离散数学是计算机科学的重要分支之一。其中格论又是重要的组成部分。德国数学家戴德金在1900年研究对偶集时发现了格。后来经过皮尔士以及施罗德等人的工作，格的研究向前推进一大步。美国数学家伯克霍夫于1940年出版的《格论》一书，是个划时代的工作。在格论的研究中，数学家们发现，布尔代数经过特殊化处理后也是一种格，叫做布尔格，或有补分配格。我的工作就是将先天易图与布尔代数处理为同构的结构。超越莱布尼茨的工作就实现了。那么古老的易图也可以从格论的角度对现代计算机进行解释。

现在来看一下如何通过格论使先天易图与布尔代数同构。《易经》的……易有太极，是生二仪，二仪生四象，四象生八卦……。这几句话，就是刻画布尔格的递进。“太极”、“两仪”、“四象”和“八卦”都是所谓的“格”，然而，太极、二仪、四象虽然是格，但都不是有补分配格或布尔格。只有八卦才是构建布尔代数不可或缺的。下面就是传统的先天易图的八卦卦画：

 

经过幺正变换，就会得到下面的“哈斯图”（Hasse Diagram）。哈斯图是格论中的一个非常重要的工具。而先天易图经过变换就可以得到对等的哈斯图：

 

可是仅有这个哈斯图还是不够，仍需将其进一步抽象为为幂级哈斯图：

定义映射f: 其对应的八卦关系如下所示：

通过一系列的变换，可以清楚的得到以下的格同构图：

先天图和布尔格均强调结构关系，同构意味着它们都保持一种结构的双射。在范畴论中，同构指的是一个射态，且存在另一个射态，使二者的复合为一恒等的射态。

以离散数学的格论为桥梁，我发现邵雍的先天易图与布尔代数之间存在同构性。即通过幺正变换，可以得到一个恒等的射态。其意义要大于莱布尼茨的二进制算术，毕竟当代计算机采用的是布尔代数，而非莱布尼茨的二进制算术。