线性变换

一 概述

   在分析中，函数y=f(x)将输入值x变换到输出值y，同样对向量左乘矩阵A，矩阵A将向量X变换为向量Y。使用矩阵A对向量进行变换称为线性变换。向量X可以分解为n个基向量的和，如果已知矩阵A对n个基向量的变换结果，则可以得到矩阵A对任意向量变换结果，公式如下：

    。通过该公式，可以得到求解变换矩阵A的简单方法：

   1）在向量空间中选择简单单位基向量，如 ；

   2）对基向量 应用规定的变换（及矩阵A欲实施的变换）得到向量 ，该向量即为矩阵A的第一列值；

   3）依次对其他基向量做应用类似2）的操作，得到矩阵A的其他列的值。

 

二 二维空间上的基本变换

   旋转变换：根据变换矩阵计算方法，基向量 逆时针旋转  后为 ，基向量 逆时针旋转  后为 ，任意向量X逆时针旋转 的变换矩阵Q为：   

   ，图示如下：

          

   投影变换：根据变换矩阵计算方法，基向量 在线L上投影点为 ，基向量 在线L上投影点为 ，任意向量X在线L上的投影变换矩阵P为：

   ，图示如下：

         

   镜像变换：镜像变换H可以根据投影变换推导出来，根据图形得 ， ，图示如下：

        

 

三 使用内积表示投影变换

   余旋定理：根据下图可得：，，

    ，。

         

     投影到直线上：根据下图可得：，

     其中 为任意点到直线A的投影变换矩阵。

          

 

四 罗德里格斯公式

    在三维空间中，任意向量X绕特定轴K旋转 可表示特定矩阵Q对X的线性变换，以下根据图示给出罗德里格斯（Rodrigues）公式推导：

    1）向量X沿旋转轴K平行方向和垂直方向分解为：；

    2） 为向量X到旋转轴K的投影：；

    3）向量W垂直于与K构成的平面，，；

    4）由图示可知，可由三个相互正交的向量表示：，；

    5）定义叉乘矩阵为：，则有 ；

    6）得到变换矩阵为：。

                           

 

参考资料：Linear Algebra And Its Applicaions    Gilbert Strang

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