专题平行四边形的性质与判定培优训练1.在?ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE=CF，连接DE，BF，AF．（1）求证：四边
形DEBF是平行四边形；（2）若AF平分∠DAB，AE=3，DE=4，BE=5，求AF的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD
是平行四边形，∴∠A=∠C，AD=CB，在△DAE和△BCF中，?AD＝CB，∠A＝∠C，AE＝CF，∴△DAE≌△BCF（SAS
），∴DE=BF，∵AB=CD，AE=CF，∴DF=BE，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠DFA=∠BA
F，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠AFD，∴AD=DF，∵四边形DEBF是平行四边形，∴DF=BE=5，
BF=DE=4，∴AD=5，∵AE=3，DE=4，∴AE2+DE2=AD2，∴∠AED=90°，∵DE∥BF，∴∠ABF=∠AED
=90°，∴AF=2.如图，在?ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E．（1）若AD=12，AB=
8，求CF的长；（2）连接BE和AF相交于点G，DF和CE相交于点H，求证：EF和GH互相平分．【答案】（1）解：∵四边形ABC
D是平行四边形，∴AD∥BC，BC=AD=12，∠BAD=∠BCD，∠ABF=∠CDE，AB=CD，∴∠DAF=∠AFB，∵AF平
分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∴∠AFB=∠BAF，∴BF=AB=8，∴CF=BC-BF=12-8=4；（2）证明：∵∠BAD
=∠BCD，AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，∴∠BAF=∠DAF=∠FCE=∠DCE，∵∠DAF=∠AFB，∴∠FCE=∠AF
B，∴AF∥CE，?ABCD中，AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE=CF，∴DE=BF，∵AD∥BC，∴四边形BFD
E是平行四边形，∴BE∥DF，∵AF∥CE，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EF和GH互相平分．3.如图，在平行四边形ABCD中
，∠BAD和∠DCB的平分线AE，CF分别交BC，AD于点E，F，点M，N分别是AE，CF的中点，连接FM，EN（1）求证：BE=
DF；（2）求证：四边形FMEN是平行四边形．[来源:Z,xx,k.Com]（1）证明；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥B
C，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠B=∠D，∠DAE=∠AEB，∠DFC=∠BCF，∵∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别
交BC、AD于点E、F，∴∠BAE=∠DAE=∠BAD，∠BCF=∠DCF=∠DCB，∴∠BAE=∠DCF，在△BAE和△DCF中
，∠B＝∠D，AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，∴△BAE≌△DCF（ASA），∴BE=DF；（2）证明：∵△BAE≌△DCF，∴A
E=CF，∠AEB=∠DFC，∴∠AEB=∠BCF，∴AE∥CF，∵点M、N分别为AE、CF的中点，∴ME∥FN，ME=FN，∴四
边形FMEN是平行四边形．4.如图1，在中，，，以OB为一边，在外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
求点B的坐标；求证：四边形ABCE是平行四边形；如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
4.解：在中，，，，，，点B的坐标为，；?证明：，轴，轴轴，轴，即，，，，，，，是等边三角形，，，即，四边形ABCE是平行四边形；
?解：设OG的长为x，，，由折叠的性质可得：，在中，，即，5.如图，已知点A、B、C、D在一条直线上，BF、CE相交于O，AE＝D
F，∠E＝∠F，OB＝OC．（1）求证：△ACE≌△DBF；（2）如果把△DBF沿AD折翻折使点F落在点G，连接BE和CG．求证
：四边形BGCE是平行四边形．【点拨】（1）直接利用等腰三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出即可；（2）利用翻折变换的性质得
出∠DBG＝∠DBF，再利用平行线的判定方法得出CE∥BG，进而求出四边形BGCE是平行四边形．【解析】证明：（1）如图1，∵OB
＝OC，∴∠ACE＝∠DBF，在△ACE和△DBF中，，∴△ACE≌△DBF（AAS）；（2）如图2，∵∠ACE＝∠DBF，∠D
BG＝∠DBF，∴∠ACE＝∠DBG，∴CE∥BG，∵CE＝BF，BG＝BF，∴CE＝BG，∴四边形BGCE是平行四边形．6.如图
，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，b满足b16．一动点P从点A出发，在线段AB
上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出
发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）（1）求B、C两点的坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四
边形？并求出此时P、Q两点的坐标；（3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标．【点拨】（1）根据
二次根式的性质得出a，b的值进而得出答案；（2）由题意得：QP＝2t，QO＝t，PB＝21﹣2t，QC＝16﹣t，根据平行四边形的
判定可得21﹣2t＝16﹣t，再解方程即可；（3）①当PQ＝CQ时，122+t2＝（16﹣t）2，解方程得到t的值，再求P点坐标；
②当PQ＝PC时，由题意得：QM＝t，CM＝16﹣2t，进而得到方程t＝16﹣2t，再解方程即可．【解析】解：（1）∵b16，∴a
＝21，b＝16，故B（21，12）C（16，0）；（2）由题意得：AP＝2t，QO＝t，则：PB＝21﹣2t，QC＝16﹣t，∵
当PB＝QC时，四边形PQCB是平行四边形，∴21﹣2t＝16﹣t，解得：t＝5，∴P（10，12）Q（5，0）；（3）当PQ＝C
Q时，过Q作QN⊥AB，由题意得：122+t2＝（16﹣t）2，解得：t，故P（7，12），Q（，0），当PQ＝PC时，过P作PM⊥x轴，由题意得：QM＝t，CM＝16﹣2t，则t＝16﹣2t，解得：t，2t，故P（，12），Q（，0）．英才学校内部资料八年级数学提高专用2020——5家长签字： |
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