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文章来源于赛先生 ，作者张天蓉 1900年4月，著名物理学家开尔文男爵发表了他的著名演讲，提到物理学阳光灿烂的天空中漂浮着的“两朵小乌云”。谁能想到，其中的一朵竟引发了一场颠覆经典物理学的量子革命。在这场至今仍未完成的革命中，多少英雄前仆后继，为量子大厦夯实根基、添砖加瓦……
“赛先生”特邀美国理论物理博士、科普作家张天蓉，开设“量子群英传”专栏，通过一个个生动的人物故事，将量子物理的百年历史娓娓道来。 今日推出“开天辟地”的第一回：黑体辐射叛逆经典 普朗克释放量子妖精。 
（图源：wikipedia） 撰文 | 张天蓉
量子学之父，已垂垂老矣 1946年夏天的英国剑桥，弯弯曲曲的剑河两岸，既有壮观的哥特式风格建筑，又有柳绿青翠的田园风光。一位老者，步履蹒跚地徘徊于一条田间小路，若有所思，若有所忆，不经意间撞到一个正在玩耍的小男孩。 男孩金发碧眼，看似八、九来岁，观此身着西装之老者：饱满的前额，几根稀疏的头发，纹丝不乱地贴在光秃秃的大脑门上，眼镜下透出的目光，虽沉稳却显无力。男孩感觉他不似当地人，于是张口便问：“老爷爷何方人士？”老者见孩子聪明可爱，布满皱纹的脸上浮起一丝难得的笑容，仿孩子的语气答曰：“在下德国人普朗克是也！”不料男孩眼睛一亮：“莫非是那位打开潘多拉魔盒，放出了量子小妖精的马克斯·普朗克？”孩子喜出望外：“啊，原来你就是前辈们常提起的量子之父！久仰久仰！”男孩立即兴奋地拉住老者不放，要听他讲量子妖精的故事......
（图源：colnect.com） 这段对话是笔者杜撰的，但场景和年代却是真实的。那年刚刚停止战乱，大局方定。已经88岁的普朗克，支撑着虚弱不堪的病体，从柏林来到英国，参加英国皇家学会举办的，因战乱而推迟了四年的牛顿诞辰300周年纪念会。在所有与会科学家中，普朗克是唯一受到邀请的德国人，这固然是基于他在科学界的崇高地位。
田间漫步的普朗克，当年的确是到了行思坐忆的年龄，小男孩的一连串问题勾起了他的回忆，往事一桩桩浮上脑际......这次来参加他毕生崇拜的物理学祖师爷牛顿之300年冥寿纪念会，怎能不回忆自己“理解和质疑同在，保守与创新共存”的学术生涯？皇家学会邀请的专家遍布世界各地，周培源、钱三强、何泽慧等中国物理高手亦受邀请。当年的德国人中不乏有名的物理学家，纪念会却独请他一人。悲情伟人，以国以民为先！作为一个热爱德意志的战败国国民，他是否会反思他那盲目的爱国情怀？他又怎能不缅怀他的民族及自己坎坷磨难的一生呢？还有他破碎的家庭和两次大战中失去的亲人……况且，他来参加会议的目的之一，仍然是企图战后重建德国科学界的地位。马克斯·普朗克（Max Planck，1858-1947）出身于一个学术家庭，曾祖父和祖父都是神学教授，父亲是法律教授。普朗克是父亲这个大家庭中的第六个孩子，在德国北部之城基尔出生。普朗克从小就是科学的信徒！牛顿的信徒！经典物理的信徒！虽然他很有音乐天赋，唱歌弹琴都很在行，还曾经准备攻读音乐，但最后仍然舍弃不了更为钟爱的物理！他的大学数学老师亦尝劝之：弃物理，学别的！因为物理那儿已经有了牛顿和麦克斯韦之理论，经典物理学的大厦完美无缺，凡事皆有路可循、有道可通，似乎已经无题可究、无物可修了，剩下的只是打扫垃圾、填补漏洞而已！普朗克则淡然答之：“吾并非期待发现任何新大陆，仅望深入理解已存之物理学基础，知足也。”爱因斯坦在1918年4月由柏林物理学会举办的普朗克60岁生日庆祝会上发表演讲曰：“科学殿堂各式各样人物多矣，或求智力快感者，或欲追名逐利者。普朗克却非此二类人士，纯粹为虔诚物理之信徒，此吾所以深爱之也。”1877年，普朗克转学到柏林洪堡大学，在著名物理学家亥姆霍兹、基尔霍夫，数学家卡尔·魏尔施特拉斯手下学习。普朗克虽然在学术上受益匪浅，但对老师们的教学态度则不以为然。例如，普朗克如此评论亥姆霍兹：“他让学生觉得上课很无聊，因为（他）不好好准备，讲课时断时续，计算时经常出现错误。”这些经验，促使普朗克自己后来成为一个严肃认真、从不出错的好老师。1879年，年仅21岁的普朗克获得了慕尼黑大学的博士学位，论文题目是《论热力学第二定律》。在度过了相对平静的十几年教职生涯后，从1894年开始，普朗克被黑体辐射的问题困惑住了！解黑体辐射，玩数学游戏 黑体是什么？黑体辐射又是什么呢？ 黑体可被比喻为一根黑黝黝的拨火棍，但黑体不一定“黑”，太阳也可被近似当作黑体。在物理学的意义上，黑体指的是能够吸收电磁波，却不反射不折射的物体。虽然不反射不折射，仍然有辐射！正是不同波长的辐射使“黑体”看起来呈现不同的颜色。例如，在火炉里的拨火棍，随着温度逐渐升高，能变换出各种颜色：一开始变成暗红色，然后是更明亮的红色，然后是亮眼的金黄色，再后来还可能呈现出蓝白色。为什么有不同的颜色呢？因为拨火棍在不同温度下辐射出不同波长的光。换言之，黑体辐射的频率是黑体温度的函数（频率与波长成反比关系）。物理学家追求的，不仅要知其然，还要知其所以然，所以之后还有更深一层的“所以然”！那么，如何从我们已知的物理理论，得到黑体辐射的频率规律呢？
（图源：wikipedia） 那时候是19世纪末，已知的物理理论有：经典的电磁学、牛顿力学，还有波尔兹曼的统计、热力学等......
1893年，德国物理学家威廉·维恩（Wilhelm Wien，1864-1928），利用热力学和电磁学理论证明了表达黑体辐射中电磁波谱密度的维恩定律，见上图中的蓝色曲线。约翰·斯特拉特，人称第三代瑞利男爵（Rayleigh，1842-1919），基于经典电磁理论，加上统计力学，导出了一个瑞利-金斯公式，如图中红线所示。但两个结果都不如人意：维恩定律在高频与黑体辐射实验符合很好，低频不行；而瑞利-金斯公式适用于低频，在高频则趋向无穷大，引起所谓“紫外发散”（也称紫外灾难）。普朗克一开始想到的，是玩弄简单的数学技巧！既然有了实验数据，便可以利用内插法，“造”出一个整个频率范围内通用的数学公式来，将两条不同的曲线融合成一条！磕磕巴巴地玩了几年，他居然成功了，普朗克得到了一个完整描述黑体辐射谱R0(λ,T)的公式（λ为辐射波长，T为温度）:
式中c是光速，C1、C2是待定参数。在一定的参数选择下，公式与黑体辐射实验数据符合得很好。
量子小妖精，开辟新天地 普朗克当然不会满足这种内插法带来的表面符合，他追求的是更深一层的“所以然”！做物理多年的思维方法告诉他：新曲线与实验如此吻合，背后一定有它目前不为人知的逻辑道理。他并不认为他正在敲击一扇通往新天地的大门，而是虔诚地相信，自然界的规律是可知的，科学将引导人们解释它。 虔诚的科学信徒，只是虔诚地沿着科学指引的道路走下去，非功非利，如此而已！ 不过，他走着走着，时而兴奋，又时而迷惑。兴奋的是，他发现有一种物理解释可以使他用理论推导出那条正确的曲线！真是太好了，不需要用实验数据进行“内插”，而是纯粹从理论，便可以推导出一个与实验一致的结果。但是，这种物理解释使他迷惑，因为需要将黑体空腔器壁上的原子谐振子的能量，还有这些谐振子与腔内电磁波交换的能量，都解释成一份一份的。简单地用现在的物理术语说，就是黑体辐射的能量不是连续的，而是“量子化”的。如果有了这个量子化假设，原来连续分配的能量方案就需要修改为量子化的分配方案，修改方案时需要用到波尔兹曼的统计力学，来重新推导量子化后能量分布的统计规律。普朗克虽然专攻热力学，对熵和热力学第二定律有其独特不凡的见解，但却不知何故，他十分讨厌波尔兹曼的统计力学方法。唉，为了导出能量量子化之后的辐射规律，普朗克就只好咬咬牙齿，抛弃成见，应用这种方法了。不过，统计力学很是争气，帮助普朗克在几个月内便推导出了十分完美的结果，令他开心不已。最后，公式(1)中的两个参数C1、C2，变换成了另外两个参数：k和h。k是大家熟知的波尔兹曼常数，那h是什么呢?总之，与对待参数C1、C2类似的方法，普朗克用从量子化理论推导的公式，拟合当时颇为精确的黑体辐射实验数据，得到h=6.55×10-34J·s，玻尔兹曼常数k=1.346×10-23J/K。这两个数值与现代值分别相差1%和2.5%。基于100多年之前的理论推导和测量技术，这已经可以算是够精确了。那一年正是1900年，著名物理学家开尔文男爵发表了他的著名演讲，提到物理学阳光灿烂的天空中漂浮着的“两朵小乌云”，黑体辐射是其中之一。当时的普朗克对新常数，也就是之后被人们称为“普朗克常数”的h不甚了解。尽管不希望承认量子化能量的概念，但他心想：如此一个小量，难道会是一个妖精吗？42岁的普朗克，天性平和保守，反对怀疑和冒险，但这次面对了一个两难局面。他战战兢兢地抬头望天，身边放着他完成了的论文，就像是童话故事中潘多拉的魔法盒子！这里面藏着的小妖精该不该放出来呢？也许它能解决经典物理中的某些问题，驱除乌云，恢复蓝天！也许它将如同石头缝里蹦出的孙猴子，挥动金箍棒，将世界扰得个地覆天翻！普朗克不愿意释放一个怪物出来扰乱世界，但又不甘心将自己斗争了6年的科学成果束之高阁。妖精总是要出来的，天意不可违啊。最后，普朗克决定不惜任何代价孤注一掷。1900年12月4日，普朗克在柏林科学院报告了他的黑体辐射研究成果，这个日子后来被定为量子力学之诞辰。从此之后，魔盒被打开，标志着量子力学范畴的这个小精灵（h）就此诞生了。其实在当时，普朗克的报告并未引起广泛的注意，人们的思维具有惯性效应，总会产生时间延迟，科学家群体也难免。但只有普朗克自己，被自己释放出来的小妖精扰得诚惶诚恐、坐卧不安。他在提出量子论之后的多年，竟然都在尝试推翻这一理论。世界应该是连续的啊，怎么会像楼梯那样一格一格地跳呢？莱布尼兹就说过，“自然界无跳跃”。普朗克也如此认为，因此，他总想不用量子化的假设，也得到同样的结果来解释黑体辐射。妖怪放出来了，又想把它压回去关起来，谈何容易！普朗克努力多年未果，最后只好承认妖精的存在，也对一般的科学质疑发表了几句似是而非的话语：要接受一个新的科学真理，并不用说服它的反对者，而是等到反对者们都相继死去，新的一代从一开始便清楚地明白这一真理。 
普朗克常数h引出的量子故事还长着呢，我们暂且打住，回到量子之父其人。
悲情殉道者，晚年自唏嘘 普朗克幸福的家庭，就像他的经典物理信仰一样，在两次战争中崩塌。 普朗克的妻子于1909年去世，他的长子在战场战死，两个女儿战争期间死于难产。他的二儿子埃尔文被卷入到刺杀希特勒的事件中，因此被纳粹投入监狱。普朗克曾经上书希特勒，却也未能救出他的儿子——埃尔文于1945年被处以绞刑。在普朗克87岁那年，他位于柏林的家在一次空袭中被摧毁，他的藏书和许多研究成果都没有了……到剑桥参加牛顿诞辰300年纪念会后的第二年，普朗克在哥廷根逝世。他的墓碑恐怕比谁的都要简单：一块长方形的石板，上方刻着“MAX PLANCK”。最底部粗看像花纹，细看才发现，图案中间刻着一串数字：h=6.62·10-34W·s2。那是普朗克常数的近似值。他为人类科学作出的最大贡献，是释放了这个量子世界的小妖精！ 
量子群英传第二回： 心力交瘁，玻尔兹曼创统计力学；饮弹自尽，得意门生步大师后尘。
（图源：wikipedia） 撰文 | 张天蓉 在介绍著名的世纪大战“玻爱之争”之前，让我们再往前追溯一下量子思想的渊源。人们通常说的是，牛顿之后一片晴空，直到两朵“小乌云”导致经典物理之革命，其中的一朵“乌云”——量子革命就始于普朗克解决黑体辐射问题…… 这是历史事实，也是本系列文章的基本说法。不过，牛顿到普朗克及爱因斯坦之间，还相隔了两百多年，这段时期，物理学家不会闲着！如果仔细考察，在大框架之下，某些时候仍见“暗流汹涌”，与量子革命相关的暗流是热力学及统计物理的发展。因此，本篇我们介绍两位先后走向自杀道路的统计物理学家，也是师徒俩——玻尔兹曼和他的学生埃伦菲斯特。 
图一，玻尔兹曼和埃伦菲斯特，图片来源：wikipedia玻尔兹曼的统计力学大厦 1906年9月5日那个阴晦的下午，一位伟大的物理学家，在意大利度假的旅店里，因情绪失控而自缢身亡。他就是热力学和统计物理的开山鼻祖——路德维希·玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann，1844-1906）。当年的大多数物理学家们不见得愿意提起玻尔兹曼的死因，因为居然涉及到学术界一段长久的论战纷争。 但就个人因素而言，玻尔兹曼之死与其性格有关，他孤僻内向，导致了严重的抑郁症。当年的玻尔兹曼沉浸在他的“原子论”与奥斯特瓦尔德（Friedrich Wilhelm Ostwald，1853-1932）的“唯能论”不同见解的斗争中。实际上，这场论战以玻尔兹曼的取胜而告终。但是，长长的辩论过程使玻尔兹曼精神烦躁，不能自拔，痛苦与日俱增，最后只能用自杀来解脱心中的一切烦恼。 
图二，在格拉茨的斯万特和玻尔兹曼（前排中间）小组等人，图片来源：Universität Graz. Public domain via Wikimedia Commons. Photographer unknown.玻尔兹曼一生与原子结缘，但他不是如同汤姆逊、卢瑟福、玻尔那样为单个原子结构建造模型，他研究的是大量原子、分子聚集在一起时候的统计规律，即这些粒子的经典统计规律。 玻尔兹曼最伟大的功绩，就是发展了通过原子的性质来解释和预测物质的物理性质的统计力学，并且从统计概念出发，完美地阐释了热力学第二定律。 他研究分子运动论，其中包括研究气体分子运动速度的麦克斯韦-玻尔兹曼分布，基于经典力学的研究能量的麦克斯韦-玻尔兹曼统计和玻尔兹曼分布。它们能在非必须量子统计时解释许多现象，并且更深入地揭示了温度等热力学系统状态函数的物理意义。 玻尔兹曼关于统计力学的研究，为他在物理学的巨人中赢得了一席之地。正是在玻尔兹曼及麦克斯韦等人创立的经典统计方法之基础上，玻色、爱因斯坦、费米、狄拉克等人建立了量子统计规律。量子统计涉及到“全同粒子”、“自旋波函数”、费米子、玻色子等概念，在量子力学的发展和诠释中，尤其重要。 玻尔兹曼的工作不仅仅扩展到后来的量子统计，当时也直接影响到了旧量子论的建立。普朗克受到玻尔兹曼的影响。在进行关于黑体辐射量子论工作时，他得出辐射定律的理论推论中，便使用了玻尔兹曼的统计力学，尽管他此前曾表示“厌恶热力学”。爱因斯坦在发表光电效应及狭义相对论的同一年，发表了一篇有关布朗运动的论文，也是在玻尔兹曼统计观念启发下的成果。普朗克的黑体辐射研究，本来就是热力学课题。因此可以说，如果没有玻耳兹曼在热力学、统计物理及原子论方面的贡献，不可能有包括量子理论在内的现代物理学。 玻尔兹曼捍卫原子论 玻尔兹曼的分子运动论是在预设原子和分子确实存在前提下建立的。 今天我们把原子、分子的存在当作理所当然，玻尔对量子论的贡献也正是基于原子模型上。但在一两百年前却不是这样的，尽管道尔顿1808年在他的书中就描述了他想象中物质的微观结构，但是这种在当时“摸得着却看不见”的东西没有多少人真正相信。一直到道尔顿之后过了八九十年的玻尔兹曼时代，他还在为捍卫原子理论与“唯能论”的代表人物作艰苦斗争。 “唯能论”是什么意思呢？在十八世纪的分析力学大发展之后，能量的概念深入人心，力的概念几乎被抛弃，恩斯特·马赫（Ernst Mach，1838-1916）及奥斯特瓦尔德等人认为，既然能量这么好，那我们为什么不把所有理论都建立在“能量”这个概念上呢，也就是说，他们认为没有物质（原子），只有能量，这就是唯能论！那时候没有电子显微镜，谁也没看见过原子。原子论的反对者们当年常说的一句话是：“你见过一个真实的原子吗？” 当时的玻尔兹曼当然也无法看见原子，但他凭着自己的物理直觉，相信原子的存在，认为物质由分子和原子组成。玻尔兹曼不能看着唯能论者靠一派胡言毁掉自己毕生的心血。于是，他展开了与“唯能论”长达十年的论战。 但凡科学天才，性格往往都具有互为矛盾的两方面，玻尔兹曼也是如此，他有时表现得极为幽默，给学生讲课时形象生动、妙语连珠，但在内心深处却又似乎自傲与自卑混杂。 玻尔兹曼是坚定的原子论支持者，反对唯能论者把能量看作世界唯一本原的说法。玻尔兹曼有杰出的口才，但提出唯能论的德国化学家奥斯特瓦尔德也非等闲之辈，他机敏过人、应答如流，且有在科学界颇具影响力却又坚决不相信“原子”的恩斯特·马赫作后盾。而站在玻尔兹曼这一边的原子论支持者，看起来寥寥无几，而且大多数都口才捉襟（原文恐有耍嘴皮子=非实干家的歧义，故变换说法），并不参加辩论。因此，玻尔兹曼认为自己是在孤军奋战，精神痛苦、闷闷不乐。虽然这场旷日持久的争论中，玻尔兹曼最终取胜，但却感觉元气大伤，最后走上自杀之路。 实际上，“唯能论”与“原子论”两种理论，在当年没有实验支撑的情况下很难分辨对错，这也正是玻尔兹曼困惑之处。爱因斯坦后来评价玻尔兹曼：“他明白自己有着那个时代最睿智的头脑，这也是他自负的资本，但是他的自卑也是明显的，一旦有很多人站在他的对立面，他就会惴惴不安，反复地思考自己是否有这样或那样的错误……”。玻尔兹曼自信他的物理直觉，又无法证明原子存在。因此，他实际上不仅仅是在与对手辩论，而且也是在与自己辩论。自己和自己辩论十年未果，这才是他感觉无比悲哀的真正原因！ 埃伦菲斯特其人 历史是无情的，并不完全按照科学家们的努力程度和成果大小来记载他们的名字，名声不见得与贡献成正比。人们喜欢说：站在“巨人”的肩上，然而在有些时候，实际情况很可能是站在“一群矮子”的肩上！ 即使只考察量子理论的发现和建立过程，除了那些闪光的名字之外，也还可以列出一大堆你没听过的人名。特别是在新量子论（量子力学）建立之前，除了介绍过的索末菲外，还有英国的威尔逊、日本的石原纯和我们下面要介绍的埃伦菲斯特以及帕邢、拜克、朗德，还有曾经与玻尔合作发表文章的Kramers和Slater，以及其他我们叫不出名字的若干人。他们的工作与旧量子论一起，被量子力学的时代巨流冲刷和淹没，如今只具有了历史意义。 埃伦费斯特（Paul Ehrenfest，1880-1933）是奥地利人，生长于一个小村庄的犹太家庭。他的父亲来自于一个贫穷的犹太家庭，但后来，他的父母拥有了一间生意兴隆的杂货店，以此为生。埃伦费斯特后来取得了荷兰国籍。 埃伦费斯特在维也纳大学听过玻尔兹曼讲授热的分子运动论，之后成为玻尔兹曼的学生，从事统计物理学研究。刚毕业时的埃伦菲斯特默默无闻，在欧洲各个大学之间游历。一天，他在开往莱顿的两天一夜的火车上，邂逅了一位“贵人”，两人成为至交。那是当年物理界的大师级人物：亨得里克·洛伦兹（Hendrik Lorentz，1853-1928）。洛伦兹赞赏埃伦费斯特的才能，并邀他到家中做客。因此，埃伦费斯特有幸在“洛伦兹家的小聚会”上，接触到了玻恩、索末菲、普朗克、爱因斯坦等大人物。 埃伦费斯特在布拉格遇见爱因斯坦后，他们成为了密友。洛仑兹在1912年推荐他接任自己在荷兰莱顿大学的教授职务。此后，埃伦费斯特一直在莱顿大学主持工作，他的贡献主要是在统计力学及对其与量子力学的关系的研究上，还有相变理论及埃伦费斯特理论。埃伦费斯特与玻尔交往也很深，在第五届索尔维会议上的玻爱辩论中，埃伦费斯特最后站到了玻尔一边，但又因没有支持好友爱因斯坦而颇感沮丧。 埃伦菲斯特的浸渐（绝热）原理 如果说，玻尔的对应原理是在经典物理学和量子力学之间架起的一座桥梁，那么，埃伦费斯特的浸渐原理则是两者之间的又一座桥梁。 在1912年至1933年这段时期中，埃伦费斯特最重要的成就是浸渐原理。此外，他在量子物理学中也做出了杰出的贡献，包括相变理论和埃伦费斯特理论。 浸渐原理也称绝热不变量原理。自从量子力学建立以来，已经不需要这个原理了，但在1925年之前的旧量子论时代，这个原理可是颇受青睐，并且起过关键作用的。 旧量子理论可以说是经典物理加上量子化条件。例如玻尔的原子模型，电子如经典行星模型取圆形轨道，而量子化方案的对象是角动量，且量子化的轨道角动量只能取某个常量的整数倍。此外，普朗克和索末菲等都有自己的量子化条件。选取适当的量子化对象，可以成功地解释经典理论解释不了的实验数据，这就是旧量子论。然而，玻尔、索末菲等人的“成功”都多少带有一点“拼凑”的性质，他们无法解释他们选取的、作为量子化对象的量为什么只能是那些特定的量，而不是其他的物理量？ 这个问题是被埃伦费斯特的绝热不变量原理解决的。1913年，埃伦费斯特在一篇题为《玻尔兹曼一个力学定理及其和能量子理论的关系》的论文中，叙述了他的浸渐关系式，即绝热不变量原理。根据这个理论，应该被量子化的力学量只能是那些在系统参数缓慢改变中不发生变化的量。换言之，只有经典的绝热不变量才能作为系统的量子化对象，才能被量子化。例如，氢原子的角动量是绝热不变量，因此使用角量子数的玻尔模型能成功精确地解释氢原子光谱。按照同样的道理，绝热不变量原理也解释了索末菲量子化条件等等其他的旧量子论中的成功例子。 浸渐关系式对旧量子论的发展起到了很大的指导和推动作用，成为经典到量子革命征途上一个重要的里程碑。 埃伦菲斯特其他贡献 埃伦费斯特对量子力学的贡献，还包括1933年最先导出的用于研究二级相变的基本方程，以及以他命名的埃伦费斯特定理。埃伦费斯特定理描述量子算符的期望值对时间的导数，与该算符和哈密顿算符对易算符之间的关系。 从1912年秋天，埃伦费斯特在莱顿大学荣幸地继任了洛伦兹的职位开始，他便全身心地投入到科研和物理教学中。他在莱顿大学21年的教学生涯中，为荷兰培养了许多新一代的科学精英。 埃伦费斯特善于用简单的例子来阐明物理理论的精髓。索末菲曾评价埃伦费斯特教学方面的特点：“他讲起课来像一位大师，我从来没听到过任何人讲课有那么强的感染力……他知道如何使最困难的东西具体化，数学的讨论被他转换成很容易理解的图像。”
图三：埃伦费斯特和他的学生们，1924年，荷兰莱顿。左起：Gerhard Heinrich Dieke, Samuel Abraham Goudsmit, Jan Tinbergen, Paul Ehrenfest, Ralph Kronig and Enrico Fermi，图片来源：Emilio Segrè Visual Archives Photographer unknown Public domain via Wikimedia Commons。埃伦费斯特与爱因斯坦交往频繁，也经常书信来往讨论物理问题。即使是对爱因斯坦一人构建的广义相对论，埃伦费斯特也有重要的影响。他曾经提出一个“转盘佯谬”悖论，在这个悖论中，一个圆盘以高速旋转。试想圆盘由许多从小到大的圆圈组成，越到边缘处圆圈半径越大，圆圈的线速度也越大。由于长度收缩效应，这些圆圈的周长会缩小。然而，因为圆盘的任何部分都没有径向运动，所以每个圆圈的直径将保持不变。解决悖论的过程，使爱因斯坦的引力观念飞跃上升到时空几何层次。 物理界第一次使用“旋量”（Spinor）一词，是在埃伦费斯特的一篇量子物理论文中。 埃伦费斯特对发展经济学中的数学理论有兴趣。鼓励他的学生廷伯根（Jan Tinbergen，1903-1994）继续研究。后来，廷伯根的论文被同时提交到物理和经济学，延伯根成为了一个经济学家，并于1969年获得诺贝尔经济学奖。 埃伦费斯特也热情鼓励他的学生，提出自旋概念的两个年轻物理学家乌伦贝克（GeorgeE. Uhlenbeck, 1900—1988）和高斯密特（Samuel.A. Goudsmit, 1902—1978），支持他们发表了自旋概念的文章。 埃伦菲斯特之死 20世纪的物理，量子理论蓬勃发展，学界人才辈出。乐观上进激情迸发的学术环境，却医治不了孤傲科学家冷漠悲凉、厌倦尘世的不良心态。埃伦费斯特具有非凡的才能，也做出了卓越的贡献，但却在与抑郁症的斗争中失败。他总是对自己不满意，认为自己不如里兹聪明，不如玻尔运气，不如爱因斯坦智慧，等等。没有真正看到和理解自己所获取的成果的重要价值，反而产生一种莫名其妙的自卑感。 不知道当年他的老师玻尔兹曼自杀的阴影是否一直笼罩在他的心灵深处？当年后者是因为长年累月的学术论战造成心力交瘁，而现在埃伦费斯特敬重的两位朋友：爱因斯坦和玻尔，也开始了没完没了的争论！ 埃伦费斯特原本是优秀的经典物理学家，在旧量子论的年代里也因为提出浸渐假设而得意了一阵子。但是，他对自己在量子力学创建过程中的表现不满意，也不喜欢海森堡和狄拉克那种抽象的新量子论，眼看自己奋斗一生的经典物理衰败了，旧量子论也过时了，变化太快的科学景象，没有给他兴奋，反而使他感到无比痛苦！ 玻尔和爱因斯坦的争论令他厌烦。起初，埃伦费斯特想调和两人观点上的差异，但最终无能为力。特别令他困惑的是：爱因斯坦居然站到了量子力学的反面！因此，埃伦费斯特后来转向支持玻尔，但又希望好友“醒悟”过来。他甚至对爱因斯坦说出这样的话：“爱因斯坦，我为你感到脸红！你把自己放到了和那些徒劳地想推翻相对论的人一样的位置上了！” 爱因斯坦了解朋友的好意，同时也忧心忡忡地担心埃伦费斯特日益严重的抑郁症。不过，埃伦费斯特最后还是被可怕的病魔打败了，在1933年9月25日，他在安排好其他子女后，枪杀了患有智力障碍的小儿子，然后结束了自己的生命。 往期回顾（第一部分）
我们回望量子论的历史，就像远航的水手回望当年给他（或他的祖先）指点航道的一座座灯塔。大多数灯塔上只有一盏灯，灯光忽明忽暗，有明有暗，我们看见：普朗克是第一盏，爱因斯坦第二盏...... 唯有玻尔为主灯的那个灯塔上，聚集了好多盏！其中包括了海森堡、狄拉克、泡利、等诺贝尔奖得主，甚至还有朗道这样的巨擘级的物理学家，也曾经在那儿发光！
撰文 | 张天蓉 物竞天择，斗转星移，一个多世纪转瞬而逝！开尔文男爵在著名演讲中所言之“两朵小乌云”，已经导致了两场伟大的物理学革命。其人其事俱往矣！然而，言谈笑貌任评说，是非功过写历史。许多动人的故事，至今仍然被人们在茶余饭后津津乐道也。两场革命，即相对论和量子力学。故事虽然迥异，人物则有重叠。两个相对论中，狭义相对论尚可说有洛伦茨、庞加莱、普朗克等杰出人物的少许帮助和参与；广义相对论则几乎完全出自爱因斯坦一人之头脑，可算爱式单挑的“独门功夫”。而量子力学大不一样，它是一个集体创作的巨著！在那几十年里，量子领域是一派“万贤争辉、群雄并起”的局面，各种人物不断涌现出来，有传承正统的名流，也有民间高手隐士。一个个皆有所成，或练就了绝世功夫，或发掘出武林秘笈。诸位看官莫要心急，且容我慢慢道来。今之论者，乃量子力学中一名掌门人，尼尔斯·玻尔！少年玻尔爱踢球，觐见国王也较真 话说当普朗克胆战心惊地揭开了潘多拉盒盖之时，在与德国北部接壤的小国丹麦之首都哥本哈根，人们经常见到一位15岁左右的英俊少年，与小他两岁的弟弟在一起。两兄弟手足情深，或奔跑竞赛在足球场上，或并肩散步于街头巷尾。哥哥名叫尼尔斯·玻尔（1885年-1962年），是我们这篇故事的主角，弟弟名为哈拉尔德。他们的父亲克里斯蒂安·玻尔，是哥本哈根大学一位颇具名望的生理学教授。 玻尔真心喜爱和欣赏他的弟弟，两人都是足球场高手，但弟弟更胜一筹；两人在学校都是优等生，但尼尔斯内向，哈拉尔德外向且表现更为聪明。弟弟文理皆通、能言善辩。比较而言，玻尔总觉得自己凡事都比弟弟慢一拍，并且不会说话，显得笨嘴拙舌的。长大之后，哈拉尔德也表现出他的绝顶才华，成为颇有名气的足球运动员。他是丹麦国家足球队的成员，曾代表丹麦参加了1908年夏季奥运会的足球比赛。业务上，他专攻数学，比玻尔更早得到硕士学位。
尼尔斯·玻尔（右）和数学家弟弟（图源：vavel.com） 玻尔自认“笨嘴拙舌”，这使得他话不多疑问却多，不善舞文弄墨却凡事较真。如何较真法？几件小事可见一斑。小学时上图画课，老师让学生以“自家庭院”为题作画。画至一半时，玻尔说必须回家，问其何故？答曰，要回家去数数院中围墙栏杆之数目矣！老师本想开导几句，但知此生认真执着之秉性，只好付之一笑放其回家。
后来，玻尔顺其兴趣专修物理。1912年，玻尔博士毕业后前往英国，原来准备在诺贝尔得主汤姆孙手下工作，却因为他过于“较真”的劲头，使得这份工作告吹。据说玻尔那天来到卡文迪什实验室，一进门就啪啦一下，直愣愣地将两份论文放在汤姆孙面前：一是玻尔的，一是汤姆孙的。玻尔的文章是想让汤姆孙给予指导，呈上汤姆孙的文章呢，则是为了当面指出他文章中的若干错误之处！非常遗憾，汤姆孙教授不习惯也不喜欢这种天真率直的学生，因此久久未给玻尔答复，也不想认真阅读他的论文。不过正好，另一位著名物理学家卢瑟福（过去是汤姆孙的学生）到剑桥来作报告，汤姆孙便顺水推舟地把玻尔介绍给了卢瑟福。于是，玻尔几个月后转赴曼彻斯特，并和卢瑟福建立了长期的友谊和密切的合作关系。此后，玻尔如鱼得水，将研究兴趣集中在了卢瑟福的原子模型上。1916年，玻尔成为哥本哈根大学教授，得丹麦王觐见。王表示，今日见到“吾国足坛名将”玻尔，喜极乐极也！尼尔斯一听，知国王错把自己当成了弟弟，立即正其词曰：“惜哉，误哉！陛下所言之人，乃臣弟哈拉尔德·玻尔也。”王犹不悟，玻尔则较真地警示之：“吾名尼尔斯·玻尔也！”玻尔屡警，丹麦王屡复，终使其王尴尬之甚，将觐见迅速了结之。原子模型是真经，对应互补皆哲学 剑桥的汤姆孙和曼彻斯特的卢瑟福是师生关系，但各自都有自己假设的原子模型。汤姆孙发现了电子，于是想出了一个葡萄干蛋糕模型，将电子比为“葡萄干”嵌于原子“蛋糕”中。因此，他在1906年获得诺贝尔物理奖。 后来，汤姆孙的学生卢瑟福，利用α粒子攻打原子，即著名的“α粒子散射实验”，证明了原子的正电荷和绝大部分质量，仅仅集中在一个很小的核心上，直接否定了汤姆逊蛋糕模型，提出行星模型，并由此获得1908年的诺贝尔化学奖。
在卢瑟福的影响下，玻尔开始研究原子，为什么呢？因为卢瑟福的行星模型还有很多问题。根据经典电磁理论，在电子绕核回转的过程中，会连续发射电磁波，因而，电子将连续不断地损失能量，最后轨道缩小，电子很快就会掉落到原子核上。所以，行星模型是不稳定的！这是当时原子物理学家面临的难题。玻尔在曼彻斯特停留了短短四个月后，回到丹麦时，脑海中已经有了解决问题的模糊想法。因为他听说了普朗克和爱因斯坦两个德国人的工作，他们使用量子化方法解决了黑体辐射和光电效应的问题。当时物理学界对这个量子化假说还比较冷淡，十几年了，反应不多。但是，玻尔毕竟是玻尔，是与众不同的、思想开放的玻尔！他那时不过27岁，虽然口齿有点笨拙，但年轻气盛、激情满怀，踢起足球来也能跑得风快！况且，做物理研究又不需要文笔和口才，只需把足球场上的拗劲发挥到科研上就行了。于是，玻尔下定决心：把普朗克的量子假说推广到原子内部的卢瑟福模型上试试看！老天不负有心人，回丹麦后的第二年，1913年，玻尔将他的长篇论文《论原子构造和分子构造》分成3次发表，分别于7、9和11月连续推出。这就是著名的“玻尔原子模型”。玻尔修正了原子的行星模型，将电子绕核作圆周运动的轨道“量子化”！卢瑟福模型中的电子轨道是连续可变的，电子可能运动在任何一个轨道上。而在玻尔的原子图像中，电子只能采取一些特定的可能轨道，离核愈远的轨道能量愈高，但是，能量（轨道）不能任意取值，而是“一跳一跳”的，有一个限制，限制值（或称跳跃值）又是与普朗克常数h有关！这个量子化的轨道理论又如何解释原子的稳定性呢？玻尔说，当电子在这些可能的轨道上运动时，原子不发射也不吸收能量，所以电子的能量不变，轨道半径也不变，因而电子不会掉到原子核上！但是，玻尔又说，电子有可能从一个轨道A跃迁到（能量不同的）另一个轨道B。如果轨道A的能量大于轨道B的能量，原子就会发射出一个光子，反之，原子就需要吸收一个光子。发射或吸收的光子的频率ν，与两个轨道间电子具有的能量差E有关，即E=hν，这儿的h就是普朗克常数。
玻尔在友人汉森的建议下，将原子结构的研究，与当年光谱分析的结果联系起来。所以，玻尔原子模型中的电子，除了可能的能量轨道外，电子的角动量也导致不同的轨道。不同轨道间的角动量差别，必须是h/2π的整数倍。换言之，玻尔把原来普朗克和爱因斯坦只用于能量的量子化概念，推广到了角动量。因此，玻尔的理论不仅说明了原子结构的稳定性，也成功地解释了氢原子的光谱线规律。1921年，玻尔根据他的理论，结合光谱分析的新发展，诠释了元素周期表的形成，并对周期表上的第72号元素的性质做了预言。次年，基于玻尔对原子结构理论的贡献，他被授予诺贝尔物理学奖。玻尔将量子的概念引进到原子的轨道和角动量，是一个革命性的飞跃。虽然玻尔模型仍然不是彻底的量子论，只是“半经典半量子”的，因为它仍然使用与量子论相冲突的经典轨道概念。但是，普朗克推导黑体辐射规律，以及爱因斯坦解释光电效应，都只涉及到物质以外的辐射和吸收，未解释与物质结构有关的深层原因，这一步是由玻尔的工作完成的。从此之后，物理学家认识到，自然界的一切，包括物质和能量，均由飞跃的、量子化的阶梯构成。遵循这个概念，量子论有了进一步发展的坚实基础。除原子模型之外，玻尔本人对量子论的贡献，还有他提出的“对应原理”及“互补原理”等，它们对量子论思想的建立，特别是对量子力学的“哥本哈根诠释”，起了一定的作用。但是这两个原理在哲学上的意义或许超过其物理意义，所以在此不给予更多的介绍，感兴趣的读者可搜索相应的参考资料。玻尔对量子论的另一个重要贡献，是他创建的哥本哈根研究所，以及培养了众多年轻物理学家们，为量子理论作出杰出贡献，其中也包括“哥本哈根诠释”。量子诠释成主流，哥本哈根掌门人 玻尔于1921年创立的哥本哈根大学理论物理研究所（后来叫玻尔研究所），当年形成了著名的哥本哈根学派，在创立量子力学的过程中，起了重要的作用。几十年来，该研究所走出的科学家中，荣获诺贝尔奖的就有10人以上。
无论将来量子物理如何发展，如何被诠释，以玻尔为领袖人物的哥本哈根学派在物理史上的地位不会被抹煞。我们回望量子论的历史，就像远航的水手回望当年给他（或他的祖先）指点航道的一座座灯塔。大多数灯塔上只有一盏灯，灯光忽明忽暗，有明有暗，我们看见：普朗克是第一盏，爱因斯坦第二盏...... 唯有玻尔为主灯的那个灯塔上，聚集了好多盏！其中包括了海森堡、狄拉克、泡利、等诺贝尔奖得主，甚至还有朗道这样的巨擘级的物理学家，也曾经在那儿发光！水手们一个个航行远去，后方的灯塔越来越多，远处灯塔的灯光显得越来越暗淡，最后水手自己也变成一盏灯，消失在历史的灯海中......
玻尔研究所（图源：nbi.ku.dk） 哥本哈根派对量子力学的哥本哈根诠释，很长时间（基本上整个20世纪）在物理学界都占据主流地位。即使是现在，各种诠释争相而起之时，哥本哈根诠释也仍然具有一定的竞争力。
左：玻尔和普朗克（图源：mps-kiel.de）右：朗道与玻尔在莫斯科大学，1961年（图源：msu.edu） 玻尔研究所以其开放自由的学术气氛著称，被人誉为“哥本哈根精神”。这种良好学术环境的形成，当然与玻尔这个“掌门人”的人格魅力有关。玻尔有一句名言，充分说明了他的为人。据说当别人问玻尔如何能将这么多年轻人团结到一起时，玻尔说：“因为我不怕在年轻人面前承认自己知识的不足，不怕承认自己是傻瓜。”
前苏联科学家朗道，对玻尔十分崇敬，这也多少说明一些问题。朗道何许人也？他在物理界素来以骄傲自负著称，经常在辩论时口无遮拦、言辞犀利，但他敬爱玻尔，公开场合时常提到自己是玻尔的学生，虽然他在玻尔研究所工作的总时间并不长。
从左往右：约尔丹、泡利、海森伯、玻尔等人在研究所全神贯注地听报告，约1930年
何谓哥本哈根精神？除了它对量子诠释的物理含义之外，代表的主要意义应该是：自由、平等、轻松随便、不拘一格、热烈而又和谐的讨论气氛。
某物理学家（弗里西）尝忆上世纪30年代在玻尔研究所工作之见闻曰： 我花了一段时间才习惯了哥本哈根理论物理研究所的这些不拘礼节的行为。例如，一讨论会上，玻尔与朗道热烈辩论。我走进会场，看见朗道平躺于桌上，而玻尔好像完全不在乎朗道之姿势，只是根据他清晰而直接的思考能力作出对问题的判断。 讨论和实验的问题也未必见得是物理。例如，玻尔喜欢美国西部电影，经常与同行一起观看。玻尔提出了一个问题，为何在罪犯发起的枪战中英雄总是获胜？玻尔也有一说来解释：根据自由意志作出的决定，总是会比无意识地作出的决定更费时，所以，罪犯的计划行动不如自发反击的英雄行动敏捷。玻尔买了两支玩具枪，试图以科学方式检验该理论。最后，乔治·伽莫夫（George Gamow）扮演罪犯，玻尔扮演英雄，据说，“实验”的结果充分验证了玻尔的理论。笔者老师惠勒，以前曾在玻尔研究所作研究，他在一次访谈中说道：.....比如，早期的玻尔研究所，楼房大小不及一家私人住宅，人员通常只有五个，但它不愧是当时物理学界先驱，叱咤量子论一代风云！在那儿，各种思想的新颖活跃，在古今研究中罕见。尤其是每天早晨讨论会，真知灼见发人深思，狂想谬误贻笑大方；有严谨的学术报告，亦有热烈的自由争论。然而，所谓地位显赫、名人威权、家长说教、门户偏见，在那斗室之中，是没有任何立足之处的。 在已经介绍过的三位量子力学创始人中，爱因斯坦出身于商人之家，其他两位（普朗克和波尔）的父亲都是教授。下期“量子群英传”，我们将介绍第四位量子传承人，他是一位货真价实的法国贵族。敬请期待！
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