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我在《数列的奇偶性与周期性》里讲到了这样一道题： 它是2012年高考全国新课标理科卷的第16题，也就是俗称的填空题压轴题. 显然，我们要对n的奇偶进行讨论，也就是要用到奇偶分析法. 但更为重要的是，我们要明白的是，这类奇偶项相互交错的数列，解决它们的关键操作是什么？ 答案就是：物以类聚，人以群分；路归路，桥归桥；奇数项和奇数项在一起，偶数项和偶数项在一起. 也就是说，我们要把奇数项和偶数项隔离开. 1 奇偶分析法 令n=2k-1得： 奇偶项混合在一起，分不开. 继续赋值，令n=2k得： 两式相减可以消去偶数项： 我们终于实现了奇数项在一起的目的. 上式表明：相邻的奇数项的和为2. 2 偶数项也要在一起 奇数项在一起了，偶数项也很羡慕：我们能不能在一起呢？ 这也是能够办到的. 令n=2k得： 再令n=2k+1得： 上面两式相加得： 偶数项也欢天喜地地在一起了. 上式表明：相邻偶数项的和为一个等差数列. 3 求和顺其自然 回到本题的求和问题. 前60项的和就是把30个奇数项的和与30个偶数项的和加到一起. 回顾整个解题过程，关键步骤就是： 把奇数项和偶数项分开. 这就是解决奇偶项问题的绝招，就是它们的命门所在. |
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