【原】神奇的凹凸反转

写了两篇关于指对函数的放缩文章《对数不等式的取等条件》《指数函数的切线放缩》之后，微信昵称为“N（μ，δ2）”写了下面的留言.

这几个不等式十分有用！但有一个小问题，学生需要通过什么现象才能判定使用这个不等式？一般我理解是看到e^x与lnx在一个不等式中出现时就会想到。而答案经常给出一种不等式左右两边同时除以x的构造法，左老师可否讲一下那种方法的具体思路？多谢！

我的回复是：

这种情况一般考的是函数的凹凸性.

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几个你应该熟悉的常备函数

在一个现代物理学家的眼中，磁场就像身后的椅子一样实际；在一个训练有素的学霸眼中，下面几个函数也是常备函数、熟悉函数.

没错，它们就是由x和e^x或者lnx组合而成的函数.

图像也很有特征，凸的凸、凹的凹.

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解题实战

看下面这样一个栗子.

可能的思路有哪些呢？

尝试1：构造差函数

因为左右的x是一样的，所以把右边部分移项到左边，构造新函数.

尝试一下，发现比较困难，因为新函数的导数难求，形式复杂.

尝试2：用加强证明

即证明左边部分的最小值大于右边部分的最大值.

尝试一下，发现也不能实现，因为最值求不出来.

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凹凸反转

结合今天的内容，考虑构造上面的那几个凹凸函数.

尝试3：先变形，用加强证明

不等式两边同时乘以x，即证下面这个不等式成立.

将左右两部分分别构造成两个新函数

下面证明f（x）的最小值大于g（x）的最大值即可，而这个证明很容易实现，过程就不赘述了.

从图象上看是这样的.

是不是一个凸，一个凹？