湖北省高等教育自学考试大纲
课程名称：复变函数论课程代码：02011（理论）
第一部分课程性质与目标
一、课程性质与特点
《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。复变函数论不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。复变函数论作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。在学习过程中，应注意将所学的知识，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。
（1）本课程的教学使学生对复变函数的一些基本概念、基本理论、基本方法有较深刻的认识和理解解决实际问题的能
（2）判定函数解析的充要条件掌握柯西积分定理和柯西积分公式掌握解析函数的幂级数表示法掌握解析函数的洛朗展式与孤立奇点积分的理解解析函数所构成的变换的某些重要特性分式线性变换的映射性质本课程是数学分析的后续课程深地渗到代数学、解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓学等数学分支，为其提供必要的基础知识。
本章复数和复变函数的基本概念。理解复数、区域、单连通区域、多连通区域、约当曲线、光滑（逐段光滑）曲线、无穷远点、扩充复平面等概念；理解复数的性质，掌握复数的运算，理解复数的模和辐角的性质；理解并掌握复变函数极限与连续性的概念与性质解析函数解析函数是本课程的主要研究对象，本章教学使学生理解解析函数的概念和判定函数解析的充要条件，掌握简单的初等多值函数理论为后面学习解析函数的其他性质奠定基础。理解函数的义性质及判别解析函数的方法掌握。是函数的定义，利用柯西-黎曼条件判别解析函数的方法的定义利用柯西-黎曼条件判别函数分出初等多值函数单值解析分支，由已给单值解析分支的初值计算终值函数复积分是研究解析函数的一个重要工具本章教学使学生熟练掌握柯西积分定理和柯西积分公式。要求理解复积分的概念、性质，掌握复积分的计算方法；理解柯西积分定理，熟练掌握利用柯西积分定理计算函数沿闭曲线的积分；理解柯西积分定理的推广；理解柯西积分公式、高阶导数公式，熟练掌握利用柯西积分公式、高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分；了解解析函数的无穷可微性；了解柯西不等式与刘维尔定理，掌握其证明方法；掌握利用摩勒拉定理判断解析函数的方法；熟练掌握已知解析函数的实部（或虚部）求该解析函数的方法。
是柯西积分定理柯西积分公式柯西积分定理柯西积分公式柯西积分定理柯西积分公式利用柯西积分定理柯西积分公式掌握已知解析函数的实部（或虚部）求该解析函数的方法解析函数的幂级数表示法级数是研究解析函数的一个重要工具，本章教学使学生理解并掌握把解析函数表示为幂级数的方法，并了解解析函数的其他性质。要求了解复级数的基本概念；掌握复变函数项级数的收敛、一致收敛、内闭一致收敛的定义及判别方法；理解解析函数项级数的和函数的性质；理解幂级数的敛散性；理解收敛圆、收敛半径的概念；了解幂级数和的解析性；理解解析函数的幂级数表示；熟练掌握一些初等函数的泰勒展式；了解幂级数的和函数在收敛圆周上的奇点的存在性；理解解析函数的零点孤立性唯一性定理、最大模原理。是幂级数的和函数在收敛圆周上的奇点的存在性解析函数的洛朗展式与孤立奇点本章教学使学生掌握以洛朗级数为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质要求了解双边幂级数的有关概念；了解洛朗定理，熟练掌握将解析函数分别在指定圆环和孤立奇点去心邻域内展成洛朗级数的方法；了解洛朗级数与泰勒级数的关系；理解孤立奇点的概念，掌握判断孤立奇点类型的方法；了解解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质；解析函数在无穷远点的性质；了解整函数与亚纯函数的概念。
是洛洛洛洛朗级数与泰勒级数的关系洛洛留数理论及其应用本章教学使学生积分的。要求理解留数的定义，熟练掌握留数的法；理解留数定理，掌握利用留数定理计算函数沿闭曲线的积分；掌握用留数定理计算实积分；了解对数留数的概念；理解辐角原理、儒歇定理，熟练掌握求解析函数在指定区域内的零点个数的方法。
是利用留数定理计算函数沿闭曲线的积分求解析函数在指定区域内的零点个数的方法解析函数在指定区域内的零点个数本章从几何的角度对解析函数的性质和应用进行讨论本章教学使学生理解解析函数所构成的变换的某些重要特性。要求了解解析变换的特性（保域性、保角性、共形性）；理解分式线性变换的映射性质，掌握将区域D共形映射为区域G的分式线形变换；了解幂函数、指数函数、对数函数的映射性质，掌握它们所构成的共形映射。
是本章教学
二、考核知识点与考核目标
（一）本章重点是本章教学
二、考核知识点与考核目标
考核不涉及本章内容。
第三部分有关说明与实施要求
一、考核的能力层次表述
本大纲在考核目标中，按照“识记”、“理解”、“应用”三个能力层次规定其应达到的能力层次要求。各能力层次为递进等级关系，后者必须建立在前者的基础上，其含义是：
识记：能知道有关的名词、概念、知识的含义，并能正确认识和表述，是低层次的要求。
理解：在识记的基础上，能全面把握基本概念、基本原理、基本方法，能掌握有关概念、原理、方法的区别与联系，是较高层次的要求。
应用：在理解的基础上，能运用基本概念、基本原理、基本方法联系学过的多个知识点分析和解决有关的理论问题和实际问题，是最高层次的要求。
二、教材
1、指定教材
钟玉泉，《复变函数论》第三版，高等教育出版社2004年1月.王玉玉王健波复变函数论(第三版)全程导学及习题全解(21世纪高等院校经典教材同步辅导)中国时代经济出版社2008年3月余家荣《复变函数》第版，高等教育出版社2007年1月.
马库雪维奇А.И.，解析函数论简明教程，北京?:?人民教育出版社，1961年
（4）普里瓦洛夫И.И.，复变函数引论1956年8月
三、自学方法指导
1、在开始阅读指定教材某一章之前，先翻阅大纲中有关这一章的考核知识点及对知识点的能力层次要求和考核目标，以便在阅读教材时做到心中有数，有的放矢。
2、阅读教材时，要逐段细读，逐句推敲，集中精力，吃透每一个知识点，对基本概念必须深刻理解，对基本理论必须彻底弄清，对基本方法必须牢固掌握。
3、在自学过程中，既要思考问题，也要做好阅读笔记，把教材中的基本概念、原理、方法等加以整理，这可从中加深对问题的认知、理解和记忆，以利于突出重点，并涵盖整个内容，可以不断提高自学能力。
4、完成书后作业和适当的辅导练习是理解、消化和巩固所学知识，培养分析问题、解决问题及提高能力的重要环节，在做练习之前，应认真阅读教材，按考核目标所要求的不同层次，掌握教材内容，在练习过程中对所学知识进行合理的回顾与发挥，注重理论联系实际和具体问题具体分析，解题时应注意培养逻辑性，针对问题围绕相关知识点进行层次（步骤）分明的论述或推导，明确各层次（步骤）间的逻辑关系。
四、对社会助学的要求
1、应熟知考试大纲对课程提出的总要求和各章的知识点。
2、应掌握各知识点要求达到的能力层次，并深刻理解对各知识点的考核目标。
3、辅导时，应以考试大纲为依据，指定的教材为基础，不要随意增删内容，以免与大纲脱节。
4、辅导时，应对学习方法进行指导，宜提倡"认真阅读教材，刻苦钻研教材，主动争取帮助，依靠自己学通"的方法。
5、辅导时，要注意突出重点，对考生提出的问题，不要有问即答，要积极启发引导。
6、注意对应考者能力的培养，特别是自学能力的培养，要引导考生逐步学会独立学习，在自学过程中善于提出问题，分析问题，做出判断，解决问题。
7、要使考生了解试题的难易与能力层次高低两者不完全是一回事，在各个能力层次中会存在着不同难度的试题。
8、助学学时：本课程共5学分，建议总课时90学时，其中助学课时分配如下：
章次 容 时 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 解析函数的幂级数表示法 第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点 第六章 留数理论及其应用 第七章 保形变换 10 第八章 解析延拓 第九章 调和函数 合计 90
五、关于命题考试的若干规定
(包括能力层次比例、难易度比例、内容程度比例、题型、考试方法和考试时间等)
1、本大纲各章所提到的内容和考核目标都是考试内容。试题覆盖到章，适当突出重点。
2、试卷中对不同能力层次的试题比例大致是："识记"为15%、"理解"为45％、"应用"为40％。
3、试题难易程度应合理：易、较易、较难、难比例为2：3：3：2。
4、每份试卷中，各类考核点所占比例约为：重点占65%，次重点占25%，一般占10%。
5、试题类型一般分为：填空题，计算题，证明题。
6、考试采用闭卷笔试，考试时间150分钟，采用百分制评分，60分合格。
六、题型示例（样题）
一、填空题（每小题2分，共20分）
1．设，则复数的三角表示式为
2．
二、计算题（每小题8分，共56分）
1．求出常数，使函数为解析函数，并求出其导函数.
2．求在的去心邻域内的Lanrent展式.
三、证明题（每小题7分，共14分）
1．设是一个整函数，并且假定存在着一个正整数，以及两个正整数及，使得当时，
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证明是一个至多n次的多项式或一个常数.
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