模型 | 旋转型全等构造-从手连心模型到对补四边形

对于模型，我们可以从特殊图形开始，分析其中的必要条件，再寻求变化到一般情况，手拉手模型、半角模型皆如此，本文从手连心模型开始，分析关于对角互补的四边形的旋转构造．

01

“手连心”模型

“手连心”模型介绍

如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点E，以点E为一顶点作正方形EFGH，其中EF交AB边于点M，EH交BC边于点N，求证：EM=EN．

思路1：易证△EMN≌△ENC（ASA），∴EM=EN；

思路2：易证△EMA≌△ENB（ASA），∴EM=EN；

思路3：过点E作EP⊥AB交AB于点P，作EQ⊥BC交BC于点Q，易证△EPM≌△EQN（ASA），∴EM=EN．

变式：此处M、N可分别在AB、BC延长线上，结论依然成立．

演变1：去掉无关线段-简化图形

△ABC是等腰直角三角形，E是斜边AC中点，作直角∠FEH分别交AB、BC于点M、N，

则EM=EN．

此处看似是旋转，但旋转是果而非因，事实上得到EM=EN的是如下两个条件：

①点E在∠MBN的角平分线上；

②∠MEN=90°．

由角平分线得EP=EQ，

由∠MEN=90°=∠PEQ，得∠PEM=∠QEN．

演变2：弱化条件-推广模型

如图，若要得到EM=EN，需满足：

①BE平分∠ABC→EP=EQ，

另外类比上图还需得到∠PEM=∠QEN，即∠PEQ=∠MEN，

考虑到∠ABC+∠PEQ=180°，即

②∠ABC+∠MEN=180°．

【小结】由手连心模型即可推广到一般情况：

条件：BD平分∠ABC，∠ABC+∠EDF=180°．

结论：DE=DF．

至于手连心模型中的旋转型全等，则可看成是建立在邻边相等、对角互补基础上的旋转构造．

02

旋转构造-对角互补四边形

旋转构造

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=180°，

则可将△ABC绕点A旋转得△ADE，

其中C、D、E共线，且△ACE是等腰三角形．

AB=AD可得旋转后的重叠关系；

对角互补可得旋转后的共线关系．

特别地，

若∠BAD=90°，则△ACE是等腰直角三角形；

若∠BAD=60°，则△ACE是等边三角形．

在这样的图形中，可得线段之间的数量关系：

当∠BAD=90°时，有CB+CD=根号2CA；

当∠BAD=60°时，有CB+CD=CA．

一般地，

若AB：AD：BD=a：a：b，

则可得a（CB+CD）=bCA．

如果再舍掉邻边相等（AB=AD），便是托勒密定理介绍的内容了．下附链接介绍：

【中考复习】三大变换之旋转（旋转的构造-托勒密定理）

看个小例子

已知，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，以斜边AB为边向外作正方形ACDE，连接AD、CE交于点M，连接BM，若BM=6根号2，则BC=______．

【分析】延长BC至点N使得CN=AB，易证△MAB≌△MCN，

△BMN是等腰直角三角形，∴BN=12，

又CN=AB=5，∴BC=7．

文章来源：有一点数学，作者：刘岳；如存在文章/图片/音视频使用不当的情况，或来源标注有异议等，请联系编辑微信：ABC-shuxue第一时间处理。