往返相遇问题的隐含关系

在行程问题中常碰到这样一类题：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，两人在点C相遇后继续往前走，各自到达对方出发地后立即返回，结果又在点D再次相遇．我们称这类题为往返相遇问题.

在往返相遇问题中，首次相遇时，两人所走的路程之和等于A、B两地的距离；再次相遇时，两人再走的路程之和等于A、B两地距离的2倍。由于两人的速度不变，因此，存在着如下两个十分重要的隐含关系：

（1）再次相遇时，两人所走的路程分别是他们首次相遇时各自所走的路程的2倍；

（2）从首次相遇到再次相遇时，所用的时间是从出发到首次相遇时所用时间的2倍．

运用这两个隐含的相等关系解决往返相遇问题十分简洁，请看：

例1　甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时距离A地700米．两人继续往前走，各自到达对方出发地后立即返回，结果又在距离B地400米处相遇．问A、B两地的距离是多少米？

解析：设A、B两地相距x米，则第一次相遇时，甲走了700米，第二次相遇时甲又走了（x-700+400）=（x-300）（米），由结论（1）得

x-300=2×700，解得x=1700（米）．

如果从两次相遇时乙所走的路程入手同样可解：

第一次相遇时，乙走了(x-700)米，第二次相遇时乙又走了（700+x-400）=（x+300）（米），由结论（1）得

X+300=2(x-700)，解得x=1700（米）．

所以A、B两地相距1700米.

例2　甲、乙两车分别从相距180千米的A、B两站同时出发，相向而行，途经C、D两站．他们第一次恰好在C站相遇；两车继续前进，各自到达对方出发站后立即返回，结果又恰好在D站再次相遇．已知C、D两站相距80千米，分别求A、C两站及B、D两站的距离．

解：当车站的排列顺序为A、C、D、B时，如图，设AC=x千米，BD=y千米，则第一次相遇时，甲车走了x千米；第二次相遇时又走了80+y+y=80+2y（千米），故由结论（1）得

80+2y=2x，x-y=80；

又x+y=100，解得x=70，y=30．

若车站的排列顺序是A、D、C、B，请大家想一想结果怎么样？

例3　甲乙两人在环形跑道上跑步，他们从跑道上同一点A同时出发，背向而行，5分钟后相遇，各自跑完一圈后改变方向，当两人再次相遇后，甲又跑了3分钟到达出发点A，乙又跑了5分钟也回到出发点A．问两人各自跑完一圈分别需要几分钟？

分析：把跑道沿点A切开，记另一点为B，则问题相当于：甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，5分钟后在点C相遇，两人继续往前跑，各自到达对方出发地后立即返回，结果在点D再次相遇，然后甲又跑了3分钟到达A地，乙又跑了5分钟回到点．根据上述结论（2）可知，甲第二次相遇时用了2×5=10（分钟），因此，甲前后共跑了2圈，用了5+10+3=18（分钟）故，甲跑完一圈需要9分钟．同理可知，乙跑一圈需要10分钟．