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面积问题之铅锤面积

 Hi老刘老师 2020-07-15
引言:面积问题是中考数学压轴题的热点问题,变化形式非常多。本文介绍了面积问题中的一个典型问题,希望以点带面,使读者读有所获。
开讲前,从一首打油诗说起:
一刀一横一竖去,一题一面一片惊。
铅锤所向花满地,落花无情似有情。
 
 
基本问题
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A (-4,0)B (0,-4)C (2,0) 三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,△AMB的面积为S,求出S的最大值.

                           

 
易求出解析式:

解题障碍:三角形相对坐标系是倾斜的,面积S不好表示,无法通过点M来表示,这样就没法求解S的最大值。另外,用几何辅助线的方法,能感觉出点M大概在哪个位置面积会最大,但是不能精确求解。
问题情境演示:


 
 
解题之道:化斜为直(改斜归正)
解题之术:分割法(也叫铅锤法,宽高模型);补形法(也叫矩形框法);等积变形法;平行线法;
 解题之本:三角形的面积公式
动态演示:
 

静态图:
详细步骤:
也有其他分割方式:
动态演示:
 

静态图:



不过这一题,还有其他三种方法,试做比较

方法二:补形法(矩形框法)
 


方法三:切线平移法
动态演示:
 


 
方法四:常规方法+点到直线距离公式

 
 
 
问题生长
问题:若动点M的运动范围发生变化呢?
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A (-4,0),B (0,-4), C (2,0) 三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点M为第四象限内抛物线上一动点,△AMB的面积为4,求出点M的坐标.
 
问题:背景换成一次函数或者反比例函数
如图,在平面直角坐标系中,已知A (-4,0),B (0,-4),反比例函数经过点 C (2,4).
(1)求反比例函数的解析式.
(2)若点M为双曲线上一动点,△AMB的面积为S,求出S的最小值.
 
问题:铅锤法与几何模型(多种解法)



真题再现:

 
 

  
 
 

     
 

 (2019·衡阳)

 



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