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2020年高考数学的选填压轴题不难，往年江苏卷的填空压轴题非常喜欢综合考查中学数学的基本数学思想与重要基础知识点，尤其是数形结合思想。但是今年像江苏卷第14题这种，实际上比往年简单，但是灵活性却比往年要高，它给你一种解析几何题的样子，如果你真的按解析几何题去做，那么你就成功地被它“骗”入坑了。 按解析几何题做，不是说做不出来，而是把一道填空小题做成了一道大题，计算量大，很浪费时间，高考场上的宝贵时间浪费得起吗？ 而按平面几何题来做，很容易转化为函数最值问题，然后题目的重心根本就不是几何，而是函数，很好地体现了压轴题“综合运用”的要求。 它不是很难，想明白了甚至有点简单，但是非常经典，综合了几何性质、函数最值问题。 不妨先看题。 一、题目解读
这是一道迷惑性较强的题目，题目给出的所有已知条件——平面直角坐标系，坐标，圆的标准方程，都充分做出了“我是解析几何题”的样子。如果你被它的外表迷惑了，那你就入坑了，而一旦进入解析几何大题的节奏，宝贵的时间就被无情地夺走了。 二、思路探索1、方向初选：平面几何，而非解析几何首先，脑海中思考一下，若按解析几何题来做，显然是解析几何大题的常规通法那条路，虽然是按部就班，思维量极小，但是运算量却很大，做起来必然事倍功半，费时费力。既然如此，就不按解析几何题来做，几何嘛，不按解析几何当然就按平面几何来做咯。 2、平面几何性质确定特殊几何关系过PC的直径MN，M近C，N近P，很容易确定： 点A从趋近于点M，沿PC一侧的半圆运动到趋近于点N的过程中，PA不断缩短。 故A、B不可能位于PC同侧，A、B必关于PC对称，即PC为AB中垂线。 3、特殊平面几何关系的利用借助“PC为AB中垂线”的特殊平面几何关系，三角形PAB的AB边长、AB边上的高PH可以联系起来： 设PH=d(0＜d＜7)，则CH=d-1，在直角三角形CHA中，由勾股定理可得AH，AB=2AH。 于是三角形PAB的面积S=AB×d÷2=关于d的函数，归结为函数最大值问题。
三、求解函数最值问题的经典方法解析通过平面几何的处理，归结为函数最大值问题，函数是一个根号二次再乘一次的函数，最大值怎么求？常规通法导数法？待定系数法配凑均值不等式常数化？都可以。 1、导数法对关于d的函数求导，要用到基本初等函数的求导公式、导数运算法则、复合函数的求导，反正就是高中数学课本上那一页必背的求导公式。 很容易判断导数的正负区间，即函数的单调区间，于是最值也就出来了。 2、待定系数法：配凑四元均值不等式常数化注意面积的平方为关于d的四元积结构，于是联想到四元均值不等式，要得到常数最大值，就需要以系数配元，让四元和的d项刚好全部抵消，结合均值不等式的取等条件可确定系数，即待定系数法配凑四元均值不等式常数化。
四、回头也看看笨办法有些同学说，就是入了坑，就是没想到平面几何的路，就是走了解析几何的路，怎么办？别急，对于本题，解析几何的路的确很弯很弯，计算量大了很多倍，但是路毕竟是通的，所以哪怕脑子真的真的慌得“短路”了，还是镇定下来，别慌，只找到解析几何的路，如果有时间也快走。 本题解析几何的路是常规通法一条龙：联立方程——韦达定理——弦长公式，另加点到直线的距离公式，思维量的确很小，计算量也的确很大(对于填空题来说)。 快走： 由PC斜率，得AB斜率，设直线AB的纵截距参数b，联立直线AB、圆C方程，顺便注意一下判别式，韦达定理，代入弦长公式得AB边长，点到直线的距离公式得三角形PAB的AB边上的高，代入面积公式，归结为关于b的函数最大值问题。 根据函数结构，可以运用待定系数法配凑四元均值不等式常数化，是很经典的方法练习，大家可借此练习一下。
五、小结与反思对于外貌诱惑误导型题目，要懂得通过思考进行解题方向的选择，就像下棋一样，要连着思考几步，怎样走合适。 对于“综合运用”的题目，思维更不可局限在某一个板块内容之内。比如本题，如果局限于解析几何，那就会走很弯很弯的路，事倍功半。况且后面转化为求函数最大值的问题，不是基本初等函数，不能简单判断单调性，就要迅速联想到常规通法之导数法，或者根据结构特征，联想到待定系数法配凑四元均值不等式常数化。 如果实在是因为考场上太过于紧张陷入坑中，时间允许的情况下也可以把“坑路”走通，因为“坑路”虽然走起来很费力，但是它终究是通的，耐心走就通了，不过一定要注意时间控制，不可耗费多了时间，而让其它本该吃下的题没有时间做了，这是很遗憾的事。 “综合运用”的经典题不一定很难，但是它对“综合”的体现是非常经典的，对于这类好题要多体会，避免高考场上面对并不难的综合题，出现只是因为“少见”而“多怪”的尴尬境地。 再三强调，对于基础知识点的掌握，一定要牢固、全面，比如上面导数法求函数最大值，如果连那一页求导公式(基本初等函数的求导公式、运算法则、复合函数的求导)都没记牢，还玩什么导数法。 对于结构——方法联系的观察力要敏锐，比如上面“四元积结构”——“待定系数法配凑四元均值不等式常数化”，这基本就是看到结构立即想到方法的条件反射。这需要平时的积累，厚积薄发，才能游刃有余。 |
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