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​有趣又浪漫的数学,可不只有“心形函数”!

 七紫 2020-07-19

    热播网剧《隐秘的角落》你看了吗?这部短短12集的电视剧,是今年夏天当之无愧的流量王,紧张、压抑的剧情之外,让兼为数学家和哲学家的笛卡尔的“心形函数”也火了一把。看到这个细节,不知道有多少人会想:咦,数学里还有这么好玩的东西?

    的确,能玩儿转数学的人不多,沉浸在题海中的学生们更是对数学的印象定格在了“枯燥”“严谨”“理性”上。其实,数学的世界里,还有很多美妙的公式、图形和故事,比笛卡尔的心形函数还有趣!一起来看看吧,你一定会发现:原来我们身边,就充满了数学之美。
     

    平平无奇的公式,

    缠绕成美丽曲线

    《隐秘的角落》中有一集里,学霸朱朝阳在书店看书时对数学家笛卡尔产生了浓厚兴趣,而在数学课上,老师张东升也讲到了笛卡尔和公主的爱情传说:传说中,笛卡尔爱上了公主,但这段感情遭到了反对。笛卡尔给公主的最后一封信上只有一个方程:r=a(1-sinθ),这就是著名的心形函数。

    这集一播出,很多人看出了问题:“张老师,你的心形函数画错了!”剧中,张东升画的心形函数是这样的:
     

    《隐秘的角落》剧照

    而真正的r=a(1-sinθ)函数曲线是这样的:
     
    不过,心形函数不止有这一个函数公式,还有很多更像心形的公式:
     

    除了心形,函数还能玩出更多的花样,比如下面这些线,是不是大开眼界?

    雅各布线

    阿基米德线

    圆线

    玫瑰线

    笛卡尔线:

    特别的图形里,

    看到了数学的样子

    有时,我们总会惊讶于自然界那些美丽的万物:形状各异的雪花、排列紧密的蜂巢、晶莹而完美的蛛网、美轮美奂的花序……但如果你懂数学,你会从中看到数学中美的力量。或许,还会用数学创造更多的美!
    分形

    你仔细观察过一片雪花吗?你会发现:不论是什么形状的雪花,总有一种共同的规律:一片雪花分出来的枝杈,往往和雪花整体的形状很相似。这其实就是芒德布罗提出的分形概念:一个粗糙或零碎的几何形状,可以分成数个部分,且每一部分都(至少近似地)是整体缩小后的形状。

    自然界中的分形还有很多,比如罗马花椰菜。你会发现,不论怎么放大,看到的形状都是类似的;再比如海岸线的岩石,当你看得足够细微时,它的每一个棱角都像是一座小岛的海岸线。

    还有数学家利用分形画出了雪花。瑞典数学家科赫提出:取一个三角形,在每一条边的两个三等分点之间,接上一个边长只有其三分之一的小三角形,如此无限循环,就能得到雪花的形状。这样的图形,叫做科赫曲线。比比看,和雪花是不是很像?
     


    斐波那契螺旋线
    斐波那契螺旋线,是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线,也称“黄金螺旋”。斐波那契数列是意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的,也被称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34……自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案,是最完美的经典黄金比例。

    曼德勃罗特集
     
    曼德勃罗特集是人类有史以来做出的最奇异、最瑰丽的几何图形,曾被称为“上帝的指纹”。 这个点集均出自公式:Zn+1=(Zn)^2+C,这个公式中的变量都是复数,从它出发,可以产生无穷无尽的美丽图案。只要你计算的点足够多,不管你把图案放大多少倍,都能显示出更加复杂的局部。这些局部既与整体不同,又有某种相似的地方,好像这梦幻般的图案具有无穷无尽的细节和自相似性。

     
    莫比乌斯带
    拿出一张纸条,用两只手捏住纸条两端,扭转180°后把两头粘起来,你会发现这个纸环只有一个面,一只蚂蚁不需要翻到纸的另一面,就能爬完整个曲面。这个现象是德国数学家莫比乌斯发现的,这种环圈被称为莫比乌斯带。生活中,很多传送带、打印机的打印带就用了莫比乌斯的原理,让磨损更均匀,机器的使用寿命更长。
     

    莫比乌斯带还有很多奇妙的特性,比如用剪刀沿纸带的中央把它剪开。纸带不仅没有一分为二,反而剪出一个两倍长的纸圈。也有人用这个特性做出了两个相扣的心形,是不是很浪漫?
     

    真实而有趣的故事,

    在数学里从来不缺

    说回那个笛卡尔的故事。那个流传很广的美丽童话,其实只是美好的臆想。但数学里,有些故事是真真实实的有趣,比如费马大定理,也叫费马最后的定理。
     

    费马

    听到这个名字,是不是觉得有点太学术了?实际上,费马大定理的提出简直是个恶作剧:
     
    1637年的某一天,法国律师兼业余数学家费马,在一本书的空白处写下了下面一段话:
     

    任何立方数都不可能写为两个立方数之和的形式,也没有任何四次方数可以写成另外两个四次方数的形式。普遍地说,任何二次以上的幂都不可能写成另外两个同次幂的形式。即,当指数n大于2时,上述方程没有整数解。

     
    费马的手稿
    在写下上面的猜想后,他却又写道:
     

    对此我已经找到了一个真正绝妙的证明,但这里空白处太小,写不下。

     
    很多人可能会立马说:“这不是逼死强迫症患者吗?”没错,这就是费马的作风,在他的手稿里经常可以见到“我可以证明这个结论,但现在我必须去喂猫了。”或者是“我可以证明这一点,但我要去洗头了。”……
     
    因此,许多数学界内学者对他是既钦佩又讨厌。而就是这两句他随意写下的手记,让350年间的无数数学家耗尽一生去研究。直到1994年,英国人安德鲁·怀尔斯才证明了费马最后定理。
     

    你以为这就结束了?No!

    这350年中间,还发生了一件事——德国数学家沃尔夫斯凯尔因追求一位漂亮女性被拒绝,遂决定在午夜钟声响起时开枪自杀。安排好所有的事情后,为了消磨最后的几个小时,他到图书室翻阅书籍,恰好看到了一篇关于费马大定理证明的论文。他不知不觉拿起了笔,一行一行进行计算……

     
    然后,天亮了。
     

    虽然没能证明出费马大定理,但沃尔夫斯凯尔为自己发现并改正了论文中的一个漏洞感到无比骄傲,重燃了生的信心。1908年,得享天年的沃尔夫斯凯尔写下了他新的遗嘱:他将以10万马克作为奖励,给任何能证明费马大定理的人。这就是“沃尔夫奖”,被视为数学界的诺贝尔奖。

    不是所有人都能get到数学的美,但肯定有那么一瞬间,数学是能带给你快乐的。比如全身心沉浸在数字中时的忘我;一道思考很久的题终于做出来的满足;在思考题目时发现新思路和新问题的兴奋;发现了神奇规律的开心;各种杂乱的知识在某个场景串联起来的惊喜…… 

    其实,无论是哪门学科,都有吸引人的美。放下偏见和畏惧,带着好奇心去面对,一定会有新的认识哦。

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