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人大报刊资料收录:用联系与发展的观点理解“小数乘、除法”

 缪不可言行知录 2020-07-19

【题记】

为了更深入地探讨数学思想,我们必须考虑一个基本的问题 :数学是什么?它是人脑的创造还是经验的产物?我们像柏拉图那样相信存在一个包含完美的圆和精准直线的理想世界吗?

柏拉图主义者”认为数学定理是“外在”的,它们等待被发现,而数学家就像是哥伦布一样的探索者。

“现实主义者”则认为数学思想源于实际经验——我们试图找出背后的模式,并提出“定理”帮助理解其中的结构。

【说明】

本文发表于《小学数学教育》2017年10月(下),2018年2月收入中国人民大学复印报刊资料《小学数学教与学》

【摘要】

一切客观事物本来是互相联系的和具有内部规律的。用联系和发展的观点分析“小数乘、除法”的教学内容,有助于我们透彻地理解教材的编排意图和编写思路,有助于更加准确地把握相关教学要求,进而真正实现“为迁移而教”、“为理解而教”,促进学生在掌握知识、形成技能的同时获得更多价值的感悟,不断发展数学素养。

辩证唯物主义原理告诉我们:一切客观事物本来是互相联系的和具有内部规律的。作为小数四则运算的小数乘、除法,不仅与小数的意义与性质、小数加减法有着密切的联系,而且也可以看作是整数乘、除法的拓展与延伸,——因为他们都遵循着十进制计数法的基本原则,所以小数乘、除法的竖式写法、运算程序、积和商的定位都可以仿照整数乘除、法的相应规则加以施行,所不同的是小数点的处理方法。同时,因为小数是由十进分数改写而成的,可以看作是一类特殊的分数,所以小数乘、除法的运算意义、运算法则和运算性质也可以基于相应的分数运算进行推演。由此可见,胳膊联系和观点分析和理解小数乘、除法的教学内容,不分有助于我们更加准确地把握相关知识的前因后果和来龙去脉,而且能使所教学的知识具有更好的生长性,以便于学生在学习过程中主动提取、自觉迁移、融会贯通。

一、小数乘法的运算意义和计算方法

从运算的意义的角度来看,小数乘法既可以表示求几个相同加数的和,也可以表示求一个数的几分之几或几倍是多少。例如,每千克西瓜的价格是2.35元,买3千克这样的西瓜一共需要多少元?回答这个问题其实就是求32.35连加的和是多少,列式自然可以是2.35×33×2.35。又如,一辆汽车每小时行驶80千克,照这样0.5小时行驶多少千米?回答这个问题其实就是求805/101/2)是多少,所以列式是80×0.5.容易看出,前者可以由整数乘法的运算意义类推出来,而对后者的理解则应建立在全面掌握分数乘法运算的基础之上。然而,由于小数乘、除法的学习通常安排在分数乘除法之前,这就使得学生无法依据分数乘法的运算意义解决类似的“0.5小时可行驶多少千米”这样的问题。为了帮助学生全面地感受小数乘法的运算意义和价值,教材通常会借助一些熟悉的数量关系,引导他们体会用小数乘法解决相关实际问题的合理性,并对相应的运算意义形成初步的感受。例如,在教学小数乘小数的计算时,苏教版教材提供一个长方形房间的长、宽数据(都是小数),要求计算它的面积,引导学生借助“长方形的面积=长×宽”列出相应的小数乘小数的算式。又如,在教学小数乘小数的计算之后,要求学生依次解答“一台拖拉机每小时耕地0.5公顷,1.2小时可耕地多少公顷?0.75小时可耕地多少公顷”,引导他们借助熟悉的数量关系初步体会“0.51.2的乘积表示的就是0.51.2倍”,而“0.50.75”的乘积所表示的含义与“0.51.2的倍”是相似的。这样的安排,既有助于学生在现有的知识背景中理解和就用小数的乘法,避免在相对抽象的层面解释运算意义的不恰当的要求,也能为后续学习会在此铺垫和孕伏。

小数乘法的计算方法通常可以归结为如下的几个要点:先把小数乘法当作整数乘法进行计息再看乘数中一共有几位小数,就从积的末位往前数出几位,点上小数点(乘得的积的位数不够时,要在前面添0补足);乘得的积的末尾有0时,要先点上小数点,再根据小数的性质进行化简,上述计算方法的实质,就是把小数乘法归结为整数乘法,核心就是根据乘数中的小数位数来确定积的小数点位数,至于为什么可以根据乘数中的小数位数来确定积的小数点位数,从知识发展的内存逻辑来看,应该依据分数的计算方法来推演。即如,设两个小数分别是

然而,同样是分数乘除法的内容安排在小数乘、除法之后的缘故,学生在学习小数乘、除法时通常也无法理解上述推理逻辑。所以,实际教学时通常需要联系小数的意义以及整数乘法中的积的变化规律帮助学生理解小数乘法的计算方法。例如,计算3.8×3.2时,可以先让学生把题中的两个乘数都当作整数来相乘,再引导他们讨论:把3.8看作38,扩大到原来的多少倍?把3.2当作32,扩大到原来的多少倍?两个乘数分别扩大到原来的10倍,所得的积应该等于原来的积的多少倍?原来的积的100倍是1216,原来的积可以怎样算出来?由此使学生明确:要得到3.8×3.2的积,只要交38×32的积缩小到它的1/100,也就是从1216的末位向前数出两位,点上小数点。

需要说明的是,上述推理过程所依据的“积的变化规律”,学生只是在学习整数乘法时有所认识。严格地说,它是否也适用于小数(分数乘法)还没有得到确认。所以,这里只是在经验层面让学生姑且用之。换句话说,在引导学生探索小数乘法的计算方法时,我们只是默认:“整数乘法的运算规律是同样适用于小数乘法(分数乘法)的”。事实上,在定义了分数乘法之后,我们是可以合乎逻辑地将整数乘法的运算律、运算性质和运算规律推广到分数乘法之路的。而适用于分数乘法的运算律、运算性质自然也适用于小数乘法。例如,整数乘法中“一个乘数扩大到原来的若干倍,另一个乘数不变,那么它们的积也扩大到原来的同数倍”,就可以通过如下的推理推广到分数乘法之路。即:

二、小数除法的运算意义和计算方法

小数除法的定义等价于分数除法,而分数除法的定义与整数除法是一样的,都可以理解为相应乘法运算的逆运算,即已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算”。同时,由于有理数集合对于除法运算是封闭的,也就是说只要除数不为0,那么除法运算的商不分存在而且是唯一的,所以作为分数除法我便的小数除法的商自然也是唯一存在的。

从实际就用的角度来看,小数除法的运算意义主要表现在以下几个方面:一是“把一个数平均分成若干份,求这样的一份”;二是“把一个数按指定的每份数平均分,求可以分成这样的多少份”,三是“求一个数是另一个数的几倍”,四是“已知一个数的几倍或几分之几是多少,求这个数”。考虑到学生尚未学习分数除法,同时也顾及学生的实际认知水平,教材在安排小数除法的内容时,通常不会在相对抽象的层面定义小数除法(事实上,应该先定义分数除法,再将分数除法的定义推及小数除法),但会结合现实情境引导他们从不同角度体会小数除法的运算意义。例如,教学小数除以整数时,苏教版教材通过创设购买水果的问题情境,引导学生联系熟悉的数量关系体会到“要求某种水果的单价,就要用总价除以相应的数量”,而“总价除以数量”的数学实质就是“将一个数平均分成若干份,求这样的一份”。又如,在教学一个数除以小数的计算方法之后,教材在练习中安排如下的简单实际问题让学生解答,一方面帮助他们在解决问题的过程中感受小数除法的应用价值,另一方面也启发他们从不同的角度体会小数除法的运算意义。

7.一块长方形菜地,百岁香是63平方米,长是8.4米,它的宽是多少米?

8.世界上最大的鸟是鸵鸟,一个鸵鸟鸟蛋约重1.5千克,一个鸡蛋一般只有0.06千克。一个鸵鸟鸟蛋的重量是一个鸡蛋的多少倍?

小数除法的计算方法通常可以归结为如下两点:第一,除数是整数的小数除法,按照整数除法的运算法则去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添0再除。第二,除数是小数的除法,先右移除数的小数点拿它变成整数,再把被除数的小数点右移同样的位数(位数不够时添0补足),然后按除数是整数的小数除法进行计算。

容易看出,上述计算方法的基本思路是将除数是整数的小数除法转化为整数除法,将除数是小数的除法转化为除数是整数的小数除法。而关键则是根据原始数据的小数点正确处理小数点。为了帮助学生理解上述计算方法,教材通常会依据学生对除法运算的已有认识以及小数的意义和性质,引导他们联系现实情境有层次地展开探索性思考。例如,教学除数是整数的小数除法时,苏教版教材先让学生根据实际问题列出除法算式9.6÷3,然后鼓励他们联系问题背景试卷用不同的方法求出计算的结果。在此基础上,重点引导学生认识到:计算9.6÷3旱,可以先用被除数的个位上的“9”除以3,因为9个一除以33个一,所以这一步的商要写在被除数个位上面;再用被除数十分位上的“6”除以3,因为6个十分之一除以32个十分之一所以这一步的商要写成被除数的十分位上面。简单地说,就是根据商的小数点和被除数的小数点对齐。在教学除数是小数的除法时,则先启发学生依据整数除法中商不变规律将除数转化成整数,再鼓励他们依据已有的计算经验完成接下来的计算。

和小数乘法类似,上面提到的“把除数是小数的除法转化为除数是整数的小数除法”的过程,依据的是整数除法中商不变的规律。事实上,这个运算规律是否适用于小数除法(分数除法)同样也需要合乎逻辑地加以确认。只不过,考虑到学生的实际认知水平,这个确认过程被忽略了。那么,小数除法的计算方法是否能够由已被证实的数学知识合乎逻辑地推演出来呢?答案当然是肯定的。下面呈现的就是一种较为简单的推演过程。


三、与小数乘、除法相关的其他知识

考虑到学生还没有系统地认识到分数,让他们用分数表示两个数的倍比关系会有较大的困难,所以苏教版教材没有把上述的内容作为“小数的性质”进行安排,而是把它们作为小数乘、除法的运算规律,引导学生通过观察比较、归纳验证,归纳验证,发现“一个小数乘101001000……只要把这个小数的小数点向右移动一位、两位、三位……”;结合小数除以整数的内容教学一个小数除以101001000……的运算规律,引导他们通过观察比较、归纳验证,发现:“一个小数除以101001000……只要把这个小数的小数点向左移动一位、两位、三位……”,这样的教学,一方面有助于学生丰富对“小数乘整数”和“小数除以整数”计算方法的褒,同时为后来探索并理解小数乘小数和一个数除以小数的计算方法提供必要的劫持另一方面,也有助于学生加深对小数的意义的理解——因为亮亮相运算规律或小数的意义的理解——因为上述运算规律或小数的性质所反映的其实就是十进制记数法的基本特征和小数点作为定位标准的作用,即:小数点位置的移动必然会引起小数各个数位上数字所表示的数值的变化,而且这种变化本身同样也遵循着十年制的基本规则。显然,这样的体验和感悟具有十分重要的价值。

在计算小数乘、除法的过程中,有时是能够除尽的,从而得到小数位数有限的商;有时也会遇到“总也除不尽”的情况,眥得到的就是小数位数无限的小数,叫做无限小数。作为小数除法的计算结果,这里的无限小数一定也是循环小数,即:从小数部分的某一位起,一定会有一个或几个数字依次不断地重复出现。换句话说,小数除法的商可能是整数,也可能是小数可能是有限小数,也可能是无限小数。让学生结合小数除法的计入初中,初步认识无限循环小数,一方面有助于他们更加全面地把握小数除法的运算过程和特点;另一方面也有助于他们更加全面地感受小数的内涵和外延,笼头此状所认识的小数只是小数中的一类,对小数的认识还需要进一步加以拓展。

事实上,所有的分数(两个小数相除可表示为分数)都可以化成有限小数或无限不循环小数;或者反过来,有限小数或无限循环小数都可以必定成分数的形式。简单地说,由有限小数或无限循环小数构成的集合与分数集合是等份的。这个结论可以通过相应的逻辑推理加以论证。

由于计算小数除法时有可能出现“总也除不尽”的情况,得到一个无限循环小数的商,此时为了便于表达计算结果,通常可以要求学生求出商的近似值;勤教,在用小数乘、除法解决实际问题时,考虑到现实需要,也可以要求学生求出积或商的近似值,截取积或商的近似值的方法一般有三种,包括“四舍五入”、“进一法”和“去尾法”。

一个量的近似数与它的准确数差的绝对值叫做这个近似数的绝对误差。用“四舍五入”截得的人数的绝对误差,不会超过其保留部分最低一位上的一个单位。近似数接近准确数的程度,叫做精确度。显然,近似数的绝对误差越小,就越接近准确数,精确度就赵高。例如,用“四舍五入法”取得一个数的近似数是5.1,绝对误差是0.05,综合考虑上界和下界,精确度就是0.1,所以这样的过程也叫“精确到十分位”。又如,用“四舍五入法”截得的近似数3.43.40,它们的精确度分别是0.10.01.因此对于截得的近似数,其小数末尾不能随意添上0或去掉0

总之,用联系和发展的观点分析“小数乘、除法”的教学内容,有助于我们更加透彻地理解教材的编排效果图和编写思路,也有助于我们更加准确地把握相关的教学要求,进而真正实现“为迁移而教”、“为理解而教”,促使学生在掌握知、形成技能的同时获得更多有价值的感悟,不断发展数学素养。

【原文出处】《小学数学教育》(沈阳),2017.10.3 ~5

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