【来源】解忧数学杂货店。 【说明】本文已经发过两次,现应部分读者的要求,重新刊发。 极值点偏移问题一 ——对称化构造(解题方法) 三张图教你直观认识极值点偏移: 1 1 1 1 2 1 1 3 1 例题展示 点评:该题的三问由易到难,层层递进,完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程,直观展示如下: 把握以上三个关键点,就可以轻松解决一些极值点偏移问题. 拓展 小结:用对称化构造的方法解决极值点偏移问题大致分为以下三步: 1 2 3 牛刀小试 极值点偏移问题二 ——函数的选取(操作细节) 例题展示 点评 点评 注1 注2 思考:上一讲极值点偏移问题(1)中练习1应该用哪一个函数来做呢? 极值点偏移问题三 ——变更结论(操作细节) 例题展示 解法一(换元法) 解法二(加强命题) 剧透:下一讲中我们还会给出这道题的第三种证法. 能否将双变量的条件不等式化为单变量的函数不等式呢? 答案是肯定的,以笔者的学习经验为线索,我们先看一个例子. 引例 证明 发现 能否一开始就做这个代换呢? 这样一种比值代换在极值点偏移问题中也大有可为. 下面就用这种方法再解前面举过的例子. 再解例1(3): 再解例3: 再解练习1: 再解例4: 再解例5: 再解例7: 再解例8: 行文至此,相信读者已经领略到比值代换的威力.用比值代换解极值点偏移问题方便、快捷,简单得很.只需通过一个代换就可“双元”化“单元”,变为单变量的函数不等式,可证.那是不是可以就此忘掉前面三讲的内容呢?只需比值代换,就可偏移无忧? 这里,笔者必须指出,前面再解的过程中有意地略去了一些例子(不知细心的你是否发现),这就补上,请读者明察. 试再解例2: 试再解例6: 试再解练习2: 这是比值代换的败笔,又是最精彩之处.没有任何一种方法是万能的,我们不仅要熟悉它的优势,熟练它的操作,还要清醒地认识到它的缺陷,运用时要注意哪些问题,这其实是为了更好的运用. 最后,我们来看比值代换另一个应用. 牛刀小试 极值点偏移问题五 ——对数平均不等式(本质回归) 回顾 本讲要给的对数平均不等式是对基本不等式的加细. 对数平均不等式: 先给出对数平均不等式的多种证法. 证法1(对称化构造): 证法2(比值代换): 证法3(主元法): 证法4(积分形式的柯西不等式): 证法5(几何图示法): 图1 图2 应用 由对数平均不等式的证法1、2即可看出它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系,下面就用对数平均不等式解前面举过的例题. 再解例1: 再解例2: 再解例3: 再解练习1: 再解例4:同本节例1 再解例5:同本节例1 再解例7(2): 再解例8: 再解练习2: 解练习3选项D: 总 结 极值点偏移问题,多与指数函数或对数函数有关,用对数平均不等式解题的关键有以下几步: 细心的读者不难发现,用对数平均不等式来解极值点偏移问题的方法也有一定局限性,也不是万能的(再解过程中漏掉了例6,读者可尝试),其中能否简洁地表示出对数平均数是关键中的关键. 最后再举一例. 证法1 证法2 极值点偏移问题六 ——泰勒展开(本质回归) 这一讲我们回到极值点偏移的直观图形上来,揭示极值点偏移问题的高等数学背景.以极小值点的偏移为例进行说明。 图1 图2 以上只是直观(或者说非常粗略)的分析,下面拟用高等数学中的泰勒展开式进行严格证明,算作极值点偏移问题的另一种本质回归. 极大值点的情形,推导过程同上,但结果却恰好相反,不再详述. 至此,我们得到极值点偏移问题的如下判定定理: 注意: 应用 下面就用这个判定定理再解前面举过的例题. 再解例1: 再解例2: 再解例4: 再解例6: 再解例8: 再解例10: ——练习题及解答 图1 练习题: 提示与答案: 【附:相关课件微课视频链接】 (注:在B站直播搜索“许兴华数学”也可找到所有的《许兴华数学》微课视频) 高二数学(选修4-4)微课视频:1.1平面直角坐标系(总01~03) 高二数学(选修4-4)微课视频:1.2极坐标系(总04~05) 高二数学(选修4-4)1.7直线的极坐标方程(总08~09) 高二数学微课(选修4-4)2.1.曲线的参数方程(总10~11) 高二数学(选修4-4)2.2.椭圆的参数方程1(总12~总13) 高二数学视频(选修4-4)2.3.双曲线的参数方程(总14) 高二数学视频(选修4-4)2.4直线的参数方程1(总17~总18) |
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