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助力高考:各种零点问题的解题技巧

2020-07-28  京津冀书...

数形结合的简单应用

数形结合思想是高中重要的数学思想,“以形助数,以数解形”使复杂问题简单化,拓宽了解题思路。

基本要求

助力高考:各种零点问题的解题技巧

由于数形结合法是本专题的核心,我们先通过几个小题来体会一下数形结合思想。

典型例题

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练习

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复合函数的零点个数问题

在高考中,此类问题大多属于中等偏上难度,甚至作为压轴题。今天我们一起来探讨一下本类问题的解决办法。

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练习

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多零点组合的范围问题

这类问题的关键是把“取值范围”问题,转化成关于某个变量(范围已知)的函数,然后求该函数的值域,从而得解。

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零点中的参数问题

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【点评】数形结合并掌握函数零点的判定定理是解题的关键.函数的图象直观地显示函数的性质,借助于图象来研究、解决有关函数的问题是数形结合应用的一个重要方面.在解不等式、判断方程是否有解、求函数零点的个数等问题时,我们往往构造函数,利用函数的图象解题.

比较函数值的大小

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新符号、新运算

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【点评】本题主要考查根据函数的解析式作出函数的图象,体现了化归与转化、数形结合的数学思想,属于基础题.

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【点评】本题主要考查函数零点的判定定理,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题.

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隐零点问题是高考的一类重点和难点问题,解决此类问题主要有分离参数、分类讨论和数形结合三种方法,三种方法各有千秋,具体问题具体分析。一般首选分离参数的方法.因为这样能将问题转化为不含有参数的函数的最值问题,直接降低了解答的难度。对于不易或不能分离参数的问题就采用分类讨论的方法。对于选择题或者填空题,我们可以利用技巧等价转化并数形结合快速得到答案。

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在导数试题中,经常碰到导函数零点不可求的情况。对于此类试题,往往要绕开具体的零点值,转而判断导函数在给定区间上的单调性,再想办法证明导函数的零点存在。

如何证明导函数的零点存在?笔者在长期的教学实践中总结了四种方法,现说明如下。

法一:利用零点存在性定理

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法二:利用函数与方程思想

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法三:构造新的函数

如果导函数的解析式具有分式特征,且容易判断出分母是正数,此时往往将分子看成一个新的函数,进而对该函数进行研究从而得到相应的结论。

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法四:利用极限思想

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