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莱布尼兹级数是数学中一个重要的级数，柯西，欧拉，牛顿等数学家的著作中都有记载，而且方法都是巧妙，特别是欧拉运用我们大家熟知的代数方程根式原理推导出了著名的莱布尼兹级数  本篇我们就来欣赏，欧拉的数学方法，看他是如何一步步证明莱布尼兹级数的  首先运用三角函数方程1-sinx=0，很明显这个方程的根是  注意；这里的每一个根都是重根 因为：曲线y=sinx与直线y=1在坐标轴上是相切的，而不是相交的，对于这些x值，1-sinx的一阶导数为0，但二阶导数不为0 ，这很好的解释了上述x的值是方程1-sinx=0的重根 结合sinx的级数形式，我们得到  我们再结合高次方程根的表达式  可将这个级数写成线性因式乘积的形式：  然后比较下x项的系数，你就会得到如下著名的莱布尼兹级数  这是代数方程巧妙运用的结果 |
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