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题为什么难 无论哪一道数学压轴题都是用学过的知识和方法解决的，如果老师细细讲解，绝大多数同学都能听懂。但是，因为缺少思维的高度，下次遇到类似问题很多同学仍然会觉得一筹莫展难以解决。 思维的高度是在平时的知识学习和解题训练过程中循序渐进地形成的，绝不是靠老师讲授而能轻易获得的。 何谓思维的高度？ 笔者前文已有论述，高阶思维要有整体全局观念、运动变化观念、追本溯源观念，它要能统领整合所有已学知识和方法。 何谓观念？ 由“观”而形成的“念”，观就是观察体验思考，念就是形成的思维方式。 这些观念是在老师的引导下熏习而成的，是难以一蹴而就的。这些观念就是知识背后的知识，它可以组织知识，融合知识，创造知识。它才是学习的真正价值所在！ 有高度，才不难。  如何让难题不难 本文以实例讨论如何在解题过程中全方位巩固所学知识训练思维能力。每道题都是与已有知识经验联系的桥梁，每道题的完成都是一个完整的生长过程。做一道题就是吃一餐饭，囫囵吞枣不利于消化吸收，说不定还把肠胃吃坏了，要细嚼慢咽才能充分分解吸收其中的营养物质，才能获得最大收益。  实例分析 例题.（2017扬州卷28题12分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O． （1）若AP=1，则AE= ； （2）①求证：点O一定在ΔAPE的外接圆上； ②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长； （3）在点P从点A到点B的运动过程中，ΔAPE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．  引导性问题设置： 1.看完条件你想到什么？看完图形你想到什么？看完问题你想到什么？ [了解学生的知识掌握和思维层次及知识与思维的缺陷] 2.解题的实质是什么？ [解题就是找关系，找条件与结论的关系，关系找全，问题得解。（抓住本质，遵循原则）] 3.AE与哪些数量有关系？AE怎样才能确定？ [AE是ΔAPE的边，ΔAPE与ΔBCP相似。E点随P点的变化而变化，当AP确定时，BP确定，ΔBCP的形状大小确定，则ΔAPE的形状大小确定，AE、PE都可确定。（从动态的联系的角度思考，培养整体观念，把单线思维变成立体思维）] 4.要证点O一定在ΔAPE的外接圆上应该先做什么，再做什么？ [先确定ΔAPE的外接圆，再证明点O在此圆上。（培养分析能力：把问题分类别、分步骤、分模块进行逐步解决）] 5.（2）中②问要先判断什么？根据什么进行判断？你有哪些方法？ [先判断O点的运动路径是什么图形；凡动点的路径成规则图形的，此点必符合某种静态关系，即化动为静；方法有：取特殊点画图猜想，寻找定值或不变关系推理证明。（思维策略适用于一切问题，思想方法适用于一类问题，它们都是从一个个具体的问题中生长出来的。）] 6.符合一定条件的动点路径常见的有哪些？ [两定点+等距⇒中垂线；一定点+定长⇒圆；一定线+定角⇒圆；一定线+定长⇒两平行线；两定线+等距⇒角平分线；函数关系⇒函数图象。（整理回顾重点常用知识）] 7.O点运动路径如何寻找？ [画图法可以作为猜想的线索，但不能作解题依据，还需进行逻辑推理。（直观猜测结合逻辑推理）]  [通过画几个特殊点发现O点应该在一条直线上。]  [方法1：APOE共圆，连接OA，由OE＝OP得OA平分∠PAE，知O在∠PAE的角平分线上。]  [方法2：因ΔOEP是等腰直角三角形，所以过O作双垂证全等，得OM＝ON知O在∠PAE的角平分线上。] 8.第（3）问圆心到AB的距离MN的长度与什么有关？如何转化？ [显然，MN是AE的一半，转化为求AE的最大值即可。而AE是随着AP的变化而变化，再根据相似求AE与AP的关系。（数形结合，用函数关系求线段最值）]  9.合理猜想，若描出M点的运动路径，它应该是什么图形？ [若建立坐标系，M点的纵坐标是横坐标的二次函数，因此M点的路径是抛物线。同样若把E点平移到P点的正上方，它的路径也是抛物线。这里虽然不作要求，考试也不大会考，但有利于发展思维。（上不封顶，开发潜能）]  问题是训练思维发展能力的载体，老师选题时要明确题目的功能并且善于发掘题目的功能，本题的解决过程有以下功能： 1.知识技能：正方形、相似形、圆、二次函数、几种点的运动路径判定、几何画图。 2.思想方法：转化化归（等量的转化、化动为静），数形结合，合情推理与逻辑推理。 3.思维策略：动态思维，本源思维，全局思维。 |
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