标准差公式

共同成长888 2020-08-04

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差的意思是离正常有多远

标准差

标准差是数值分散的测量。

你可能想先去阅读这个比较简单的标准差网页。

在这里我们会解释标准差的公式。

标准差的符号是 σ（希腊语字母西格马，英语 sigma）。

这是标准差的公式：

[ (1/N) 乘 (xi - mu)^2 从 i=1 到 N 的总和] 的平方根

开玩笑！用人语来讲可以吗？

好的。逐步来。

假设我们有一些数值，像：9、2、5、4、12、7、8、11。

计算这些数值的标准差：

一、求数值的平均

二、从每一个数值减去平均，然后求差的平方

三、求结果的平均。

四、取平均的平方根。就是这么简单！

公式已经包括了这四步，下面我再具体解释。

公式说明

我们会用一些数值作为例子：

例子：森森有 20棵蔷薇丛。

每棵丛上花的数目是

9、2、5、4、12、7、8、11、9、3、7、4、12、5、4、10、9、6、9、4

求标准差。

一、求数值的平均

在上面的公式 μ（希腊语字母 "缪"，英语 "mu"）是全部数值的平均……

例子：9、2、5、4、12、7、8、11、9、3、7、4、12、5、4、10、9、6、9、4

平均是：

9+2+5+4+12+7+8+11+9+3+7+4+12+5+4+10+9+6+9+4 20

= 140 20 = 7

所以：

μ = 7

二、从每一个数值减去平均，然后求差的平方

这是公式的这个部分：

x_i 是什么意思？它们是个别的 x值：9、2、5、4、12, 7、……

例如， x₁ = 9, x₂ = 2, x₃ = 5 等等

就是说： "从每一个数值减去平均，然后求差的平方"，像这样

例子（续）：

(9 - 7)² = (2)² = 4

(2 - 7)² = (-5)² = 25

(5 - 7)² = (-2)² = 4

(4 - 7)² = (-3)² = 9

(12 - 7)² = (5)² = 25

(7 - 7)² = (0)² = 0

(8 - 7)² = (1)² = 1

…… 等等 ……

结果是：:

4、25、4、9、25、0、1、16、4、16、0、9、25、4、9、9、4、1、4、9

三、求结果的平均。

求平均：把所有的值加起来，然后除以值的个数。

先把上一步算出来的值加起来。

我们怎样用数学的语文来说："加起来"？我们用 "西格马": Σ

这个简单的总和符号的意思是把项相加：

总和符号

我们想从 1 到 N 把数值加起来，N=20，因为有 20个数值：

例子（续）：

(xi - mu)^2 从 i=1 到 N 的总和

这个的意思是：从 (x₁-7)² 到 (x_N-7)²，把所有的数值加起来

在上一步我们已经计算了 (x₁-7)²=4 等，所以我们只需把结果加起来：

= 4+25+4+9+25+0+1+16+4+16+0+9+25+4+9+9+4+1+4+9 = 178

这还不是平均值，我们要除以个数，就是乘以 "1/N":

例子（续）：

(1/N) 乘 (xi - mu)^2 从 i=1 到 N 的总和

平方差的平均 = (1/20) × 178 = 8.9

（注意：这叫 "方差"）

四、取平方根：

例子（终）：

[ (1/N) 乘 (xi - mu)^2 从 i=1 到 N 的总和] 的平方根

σ = √(8.9) = 2.983……

大功告成！

样本标准差

慢着，还有一点……

……有时我们的数据只是总体的一个样本。

例子：森森有 20棵蔷薇丛，但她只数了 6棵上的花！

"总体" 是全部 20棵蔷薇丛，

而 "样本" 是森森数的 6棵。

假设森森的数据是：

9、2、5、4、12、7

我们可以估计标准差的值。

但当我们用样本作为总体的估计，标准差的公式变成这样：

样本标准差公式：

[ (1/(N-1)) 乘 (xi - xbar)^2 从 i=1 到 N 的总和]的平方根

重要的改变是 除以 "N-1"，而不除以 "N"（这叫 "贝塞尔无偏估计校正系数"）。

我们也改变了符号，以显示数据是样本而不是总体：

平均变成 x （代表样本平均），而不是 μ（总体平均），
答案是 s（样本标准差），而不是 σ。

但算法是一样的，不过用 N-1 而不用 N。

我们来计算样本标准差：