高一数学：函数的奇偶性及相关简单应用

（南宁三中  许兴华数学）

【“函数的奇偶性”重点难点解读】 

一、函数的奇偶性
1.偶函数：
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.
2.奇函数:

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.

3.对函数奇偶性定义的理解：
（1)奇函数的定义等价于f(-x)+f(x)=0．

偶函数的定义等价于f(x)-f(-x)=0．

（2） 定义中的x具有任意性，函数的奇偶性是相对于函数的定义域而言的，而函数的单调性是相对于定义域的某个子集而言的，从这个意义上讲，函数的单调性属于“局部性质'，而函数的奇偶性则属于“整体性质”。
（3） x具有对称性.因为函数y=f(x)的奇偶性考查的是f(-x)与f(x)的关系，所以f(-x)与f(x)都应有意义，即x与-x都应在函数的定义域内，所以定义域在数轴上必定都关于原点对称.否则，这个函数一定不具有奇偶性.例如函数y=x^2，在R上是偶函数，但在区间[一1，2 ] 上既不是奇函数，也不是偶函数。

(4)由此可知，要判断函数的奇偶性，第一步必须先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点O对称。如果定义域不关于原点O对称，那么它就是“非奇非偶函数”了。如果定义域关于原点O对称，那再进一步用定义来判断它的奇偶性。

二、奇函数与偶函数图象的性质

（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点O为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。
（2）如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数.

三、函数的奇偶性的简单应用

1.判断函数的奇偶性

5.求函数的最大最小值

6.利用奇偶性和单调性研究函数的图象

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