[趣味数学] 百鸡问题 100元如何买100只鸡

去参观了一下中国南通珠算博物馆，讲解员在介绍我国珠算史的时候，提到中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：

公鸡每只5文钱，母鸡每只3文钱，3只小鸡1文钱。现在用100文钱买100只鸡，问你这100只鸡里公鸡、母鸡、小鸡各几只。

按照现代的做法，就是求不定方程整数解，不过咱现在考虑怎么教孩子，所以现代方程式的方法先不提，有兴趣的话，最后我们看一下即可。

这个问题，我现在还没完全想好怎么归纳（也许奥数辅导教材里已经有归纳好的？），在我看来，这个跟“鸡兔同笼”问题，有点点类似，都是往其中一个上靠死，然后慢慢的看差额一点点放开，具体来说：

第一步，全买公鸡

100文钱买20只公鸡，钱是花光了，可是说好的100只鸡呢？还差了80只鸡。那怎么办呢？那就要开始考虑置换了。

买房子的置换，是指房子数量不变，但是换个更好的，咱这里的置换，是指金额不变，锁定在100文，怎么样换到更多的鸡，让鸡的总数到100只。

第二步，算好汇率

按照三种鸡的价格，分别计算后，应该为：公鸡换母鸡，3换5，净增2（这里要特别注意，这里换一次就需要3只公鸡，目前总共只有20只）；公鸡换小鸡，1换15，净增14；母鸡换小鸡，1换9，净增8只。

后续的计算，我们就要用2、14、8这三个数字来凑出差额了。

第三步，开始置换

80这个数字很容易凑，5×15＋5×2＝80，也就是说，净增5次15、5次2即可，换句话说，5只公鸡换75只小鸡、15只公鸡换25只母鸡。

任务完成，最终结果：0只公鸡、25只母鸡、75只小鸡。

但是！如果题目要求，公鸡、母鸡、小鸡，都要有，咋办？

那就要重新换个做法用2、14、8三个数字去凑80了，比如， 4×2＋2×8＋4×14＝80， 过程为：先换4次（3公鸡换5母鸡），也就是12只公鸡换20只母鸡；然后2次（1母鸡换9小鸡），也就是拿出2只母鸡换18只小鸡；最后换4次（1公鸡换15小鸡），也就是4公鸡换60小鸡。

最终：公鸡20－12－4＝4只；母鸡20－2＝18只；小鸡18＋60＝78只

还有没有其他答案？当然有，但是这样组合不太容易，要自己慢慢凑，而且要置换的时候确保有足够的数量可以换。以上述流程为例，你说我拿10只母鸡换90只小鸡不就可以了。但是，你手头只有20只公鸡，哪里来的10只母鸡？所以，限制条件也比较多。

——————————————————————

上述方法只适合教孩子推算的过程和原理，不适合真正用来解题。真正解题则用到求不定方程：

假设公鸡母鸡小鸡分别为xyz，则有：

5x＋3y+z/3＝100……式①

x＋y＋z＝100……式②

式①×3－式② ====> 14x＋8y＝200 ====> 7x＋4y＝100 ====> y＝25－7x/4

考虑到xyz都是整数，所以x一定是4的倍数，假设x为4k（k为整数），则y＝25－7k；z=75＋3k

k＝0时，xyz分别为0、25、75（假如规定公鸡母鸡小鸡都要有，则这个答案不列为最终答案之一）

k＝1时，xyz分别为4、18、78

k＝2时，xyz分别为8、11、81

k＝3时，xyz分别为12、4、84

k≥4时，y为负，不成立了

————————