绝密启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学
本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分,考试用120分钟第卷1至3页,第卷4至6页
答卷前,考生务必将的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答规定位置粘贴考试用条形码答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡的无效考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利!
第卷
注意事项
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题上应的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干后,再选涂其他
2.本卷共9小题,每小题5
参考公式
·如果事件与事互斥,那么.
如果事件与事相互独立,那么.
球的表积公式其中表示球的半径
一.选择题在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.设,集合,则
B.C.D.
2设,则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3函数的图象大致为
AB
CD
4.从一批零件中抽取80个,测量其直径(位),将所得数据分为9组:,并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在间内的个数为
A.10B.18C.20D.36
5若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为
A.B.C.D.
6设,则的大小关系为
B. C.D.
7设双曲线的方程为,过抛物线的焦点和点的直线为.若的一条渐近线与平行,另一条渐近线与垂直,则双曲线的方程为
A.B.C.D.
8已知函数给出下列结论
①的最小正周期为;
是的最大值
③把函数的图象上点向左平移个单位长度,可得到函数的图象
其中所有正确结论的序
A.B.C.D.
9.已知函数恰有4个零点,则的取值范围是
A.B.
C.D.
第卷
注意事项
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上
2.本卷共11小题,共105分.
填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个对1个的给3分,全部答对的给5分
10.是虚数单位,复数
11.在的展开式中,的系数是
12.已知直线和圆相交于两点.若,则的值为
13.已知甲、乙两球落入的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都子的概率为甲、乙两球至少有个落入盒子的
14.已知且,则的最小值为
15.如图,在四边形中,,,且则实数的值为,若是线段上的动点,且,则的最小值为
三解答题本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
16.(本小题满分14分)
在中,角所对的边分别为.已知.
()求角的大小;
()求的值;
(求的值.
17(本小题满分15分)
如图,在三棱柱中,平面,,点分别在棱和上,且为棱的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
18.(本小题满
已知的一个顶点为,右焦点为,且,其中为
(Ⅰ)求椭圆的方程
(已知点满足,点在椭圆上(异于椭圆的顶点),直线与以为圆心的圆相切于点,且为线段的中点.求直线的方程.
19(本小题满分15分)
已知为等差数列,为等比数列,
()求和的通项公式
()记的前项和为,求证:;
()对任意的正整数,设的项和
20.(本小题满分16分)
已知函数为的导函数
()当时,
(i)求曲线点处的切线方程
(i)求函数的单调区间和极值
(当时求证:对任意的,且,有.2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷
数学参考解答
选择题:每小题5分,满分45分
1.C 2.A 3.A 4.B 5.C 6.D 7.D 8.B 9.D
二填空题:每小题5分,满分30分.试题中个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分
10. 11.10 12.5 13.; 14.4 15.;
三解答题
16满分14分
()解:中,由余弦定理及,有又因为,所以.
中,由正弦定理及可得
(Ⅲ)解由及,可得进而.所以.
17满分15分
依题意,以为原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)可得,,.
()证明:依题意,,,从而,所以
()解:依题意,是平面的法向量,,设为平面的则不妨设,可得
因此有是
所以,二面角正弦值为
()解:.由()知为平面的一个法向量是.所以直线与平面所成角的正弦值为
18.满分15分
()解:由已知可得.记半焦距为,由可得.又由,可得.所以,椭圆的方程为
()解:因为直线与以为圆心的圆相切于点,所以.依题意,直线和直线的斜率均存在设直线的方程为由方程组消去,可得,解得,或依题意,可得点的.因为为线段的中点,点的坐标为,所的坐标为由,得点的坐标为,故直线,即又因为,所以整理得解得或
所以,直线的方程为,或
19.满分15分
()解:设等差数列,等比数列的公比为.由,,可得的通项公式为.由,又,可得解得,从而的通项公式为
()证明可得,,,从而,所以
(Ⅲ)解当为奇数时,当为偶数时,对任意的正整数,有
和
由得
由得从而得
因此.
所以,数列的前项和为
20.满分16分
()()解:当时,.可得,,所以曲线在点处的线方程为,即
(i)解:依题意,.从而可得.令,解得
当变化时,的变化情况如下表:
1 - 0 + 极小值 所以,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;的极小值为,无极大值.
()证明:由,得
对任意的,且,令,则
令当时,由此可得在单调递增,所以当时,.因为,,所以
.②
由()(i)可知,当,即,故
由可得.所以,当时,对任意的,且,有
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