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雷盛运 前言 我从六十年代末就爱上哲学特别是自然辩证法。那时我在部队宣传部门工作，当时部队掀起一股学哲学热。我经常要下部队给“学习班”的学员讲课，首先必须先武装好自己。我读了不少中外哲学名著，马克思、恩格斯、列宁、毛泽东的哲学著作都读过，还有黑格尔、康德、杜林等唯心主义的的哲学也读过。特别是恩格斯的《反杜林论》、《自然辩证法》和马克思的《数学手稿》，我爱不弃卷。打那以后，我潜心钻研自然哲学。还自学了《高等数学》。八十年代初我就读于湖南电视大学衡阳分校。我将十多年钻研自然辩证法的成果汇集成这篇论文，作为我的毕业论文。该文被校方评为优秀论文，并选送省校和中央电大。现将这篇拙作，分别以《关于微积分的本源问题》和《微积分的辩证内容》两大部分，陆续连载于我的博客中，以求专家和网友们雅正。 论 微积分的哲学原理 “哲学不应当从自身开始。而应当从它的反面，从非哲学开始”。自然科学是哲学的基础。数学、物理学论、化学、生物学、天文学等等，蕴含着极其丰富哲学思想。微积分是研究变数的科学。从本质上看是辩证法在数学上的运用。因此，微积分中的哲学思想比起初等数学更丰富、更明显。如果将其全部抽象出来，可以构成一部完整的自然哲学。本文试从微积分与现实世界的关系及其辩证内容略作粗浅探讨。 关于微积分的本原问题 微积分的本原问题是指它同现实世界的关系问题，即它是产生于存在还是产生于纯思维的问题。唯物主义与唯心主义有着根本不同的看法。唯心主义认为纯数学产生于纯思维。它可以先验地，不需利用外部世界给我们提供的经验，而从头脑中创造出来。杜林、康德、贝克莱等唯心主义者就是这种观点的代表。牛顿、莱布尼茨是微积分的创立者。他们分别在研究质点运动和曲线的性质中，不自觉地把客观世界中的运动问题引进了数学。各自独立地创立了微积分。这个功劳是应该肯定的。但是，他们没有很好注意到微积分同现实世界的亲缘关系。其运算出发点是先验的。所以，马克思把牛、莱的微积分称为“神秘的微分学”。 唯物主义认为，微积分同所有的科学一样，它起源经验，然后又脱离外部世界，具有高度抽象性和相对独立性的一门崭新的科学。 恩格斯指出：“数学是从人的需要中产生的”微积分是从生产斗争和科学实验的需要中产生的。生产实践对微积分的创立起着决定的作用。从十五世纪开始，资本主义在西欧封建社会内部逐渐形成。到十七世纪，资本主义生产方式有了巨大发展。随着生产发展，自然科学技术也雨后春笋般地发展起来了。它们跑出来向数学敲门，提出了大量研究新课题。微积分的创立就是为了处理十六、十七世纪在生产实践和科学实验中所遇到的一系列新问题。这些问题归纳起来大致分为四类：一是已知物体运动的路程与时间的函数关系，求速度和加速度；反过来，已知物体运动的速度和加速度与时间的函数关系，求路程。二是求曲线的切线。三是求函数的极大值、极小值。四是求曲线的弧长，求曲线所围成的面积，曲面所围成的体积等求积问题。 上述四类问题，形式各不相同，但有着共同的本质，即都是反映客观事物的矛盾运动过程。其中的量都在不断变化着。因此，研究常量的初等数学无法解决这些问题。生产和科研的需要，促使数学由研究常量向研究变量转化。于是微积分在传统代数学的长期孕育中，经《解释几何》这个“助产婆”的接生“而分娩了”。所以，恩格斯说：“数学的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学。有了变数，辩证法进入了数学。有了变数，微分学和积分学也就立刻成了必要的了” 微积分不仅是适应生产和科学发展需要的产物。而且，它的概念、运算法则、定理、推论等在客观世界中都各有其现实的原型。微分与积分的现象在自然界中普遍存在。自然界的蒸发与凝结过程，就是微分与积分及其相互转化的辩证过程。恩格斯是这样描述自然界中的微分与积分现象及其矛盾的相互转化： “如果一杯水的最上面一层分子蒸发了，那么水层的高度x就减少了dx。这样一层分子又一层分子继续蒸发，事实上就是一个连续不断的微分。如果热的水蒸汽在一个容器中由于压力和冷却又凝结成水，而且分子一层又一层地积累起来。。。。。。，直到容器满了为止。那么这里就真正进行了一种积分。这种积分和数学的积分不同地方只在于：一种是由人的头脑有意识地完成的。另一种是由自然界无意识地完成的。” 不仅如此。自然界中的微分、积分过程还表现在机械运动与热运动的相互转化；分子的分解与化合；物质的构造等多个方面。当机械运动转化为热，即转变为分子运动的时候，宏观的机械运动被微分了。反过来，当水蒸汽的分子在蒸汽机的汽缸中积累起来，把活塞举高一定的距离，这时热运动又变成了宏观的机械运动，它是一个积分的过程。在化学反应中表示物体分子组合的一切化学方程式，就形式来说是微分方程式。这些方程式实际上是表示这些分子的原子量而积分起来了。 以上说的是一次微分的情况。高次微分是否也有其现实原型呢？结论是肯定的。我们从微商的力学意义中知道：瞬时速度U（t）是路程函数S（t）的一阶微商，即U（t）=S＇（t）;加速度a（t）又是速度函数U(t)的微商，也是路程函数S(t)微商的微商，称之为二次微商，即a(t)=S'(t)。 根据自然辩证法和现代物理学的观点。自然界是由无数个层次组成的系统。按其质量的相对的大小可作如下排列： 。。。。。。总星系——恒星系——太阳系——地球上的物体——分子和原子——基本粒子。。。。。。 如果我们把前一个层次当作一个原函数看待，那么后一个层次便是微分所得到的“导数”或称“微商”。这样连续地微分下去，可以得到一次微分dx；二次微分dx²；三次微分dx³。。。。。。直到n次微分dxｎ。由此看出高次微分处处有自己的原型。它与物质世界的各个层次建立了一一对应关系。物质是无限可分的。微分过程也是无限的。物质不灭，微分不止。这就是微积分同物质世界的对应关系。微分或积分的过程正是反映了物质的不同层次之间物质形态的相互转化和运动形态的相互转化。 我们肯定微积分的客观基础，并不否认纯思维对纯数学的能动作用。微积分来源于客观世界。但这种反映不是消极被动的。人的意识具有主观能动性和相对独立性。微积分作为一种科学理论，它属于意识范畴，同其他科学一样，当它从客观世界中抽象出来后，就和现实世界相脱离，作为某种独立的东西，而与现实世界相对立，并在自己的领域中开始独立的矛盾运动。它通常可以不受来自外部的明显影响，而凭借经验的摸索，借助逻辑的方法，巧妙地开发出数学“王国”中丰富的宝藏。微分三角形就是思维能动性的自由创造。，是一种幻想的量。所以列宁说：“在数学上也是需要幻想的，甚至没有它就不可能发明微积分”。唯心主义者抓住这一点大做文章，鼓吹微积分是数学家的“天才”头脑的产物。他们不懂得思维与存在的辩证关系，不懂得思维的独立性依然要以现实客观为基础。科学的幻想不是胡思乱想，需要凭借经验的摸索。前面谈到的微分三角形，它是在处理差分三角形经验的启示下，通过思维的加工制作，才创造出一种处于纯粹状态的微分三角形。所以，微积分的高度抽象，不但没有掩盖它起源于现实的本质，反而更深刻地反映着现实。它使人们逐步揭示了事物量的关系的本质联系。反映各种不同类型的具体对象中量的共同规律，从而使微积分广泛地运用到各种不同的具体对象中去。比如： F(x)-F(x0) F′(x)== lim ------------- ｘ→ｘ0 ｘ-ｘｏ 这一抽象的形式可以刻划物体运动瞬时速度，也可以刻划切线的斜率、物质的比热、电流的强度。又如双曲线偏微分方程，在弹性力学中描写震动，在流体力学中描写流体动态，在声学中表现为声压方程，在电学中表现为电报方程。双曲线偏微方程，反映着这些不同对象在数量上的共同属性。正如列宁说的：“自然界的统一性显示在关于各种现象领域的微分方程式的‘惊人的类似'中。”因此，微积分的高度抽象性不是离现实世界愈来愈远，而是对现实世界认识愈深，揭示了多样性物质世界的统一性。 微积分的辩证内容 恩格斯说：“变数的数学——其中最重要的部分是微积分——本质上不外是辩证法是数学方面的运用。”这段话深刻地揭示了微积分的本质。是对微积分的哲学思想的高度概括。我们周围的物质世界是由无数相互联系、相互依存、相互制约、相互作用的事物构成的统一整体。它充满着矛盾和斗争。数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。因此，客观世界中的质量互变规律、对立统一规律和否定之否定规律等辩证内必然在数学中反映出来。微积分是研究变量的数学，处处充满着矛盾，其辩证法内容更加丰富。下面从微积分与代数学，微积分的概念、运算中的矛盾运动等方面剖析微积分中的辩证法思想。 一、代数运算转化为微分运算——量变到质变的飞跃 微积分是从代数和几何的领域中发展起来的。代数方法向微分方法转化，代数运算的结果转化为微分运算的出发点，是数学发展中的一条极重要的规律。促进这种转化的动因是数学本身内部的矛盾运动，即客观事物内部矛盾运动在数学领域中的抽象。这一规律的发现和总结，首先应归功于马克思。是他第一次把代数运算与微分运算联系起来了，阐明了微分是怎样起源于代数，而后又怎样开始自己独立的矛盾运动。他指出了从代数运算转变为微分运算是一个否定之否定过程。是量变到质变的飞跃。为了说明这一点，不妨先回顾一下微积分学发展的历史。将牛顿、莱布尼茨创立的微积分同马克思的《数学手稿》中的有关论述进行比较，看看马克思是怎样运用辩证法来说明微积分与代数的内在联系的。 微分学的发展历史，从牛顿、莱布尼茨开始，大体经历了五个阶段，即神秘的微分学；理性的微分学；柯西的极限理论；鲁滨逊等人的非标准分析。牛、莱等一批数学家在实践中不自觉地把辩证法运用于数学领域，突破了代数的框框，进入了微分的领地。可是他们的思想方法却依然停留在形而上学阶段，没有把微分看成是事物矛盾运动的产物。因此，他们在运算过程中遇到了无法克服的矛盾。最后被“野蛮”的“暴力镇压”请看： 牛顿的方法：设y=x² 记无限小时间之间隔X的增量为X′（X的微分），随之ｙ的增量为y′（ｙ的微分）.则有： ｙ﹢y′﹦（x+x′）² ﹦x²＋2xx′＋x′ 两边减去函数y﹦x²。便有： y′﹦2xx′＋x′² 抹去（注意！牛顿在使用暴力）等式右边最后一项x′²得： y′﹦2xx′ 由此得出两增量之比为： y′/x′=2x 莱布尼茨的方法是： 设y=x² 记x的增量dx；y的增量为dy，则有： y＋dy﹦（x＋dx）²﹦x²＋2xdx＋dx² 两边减去原函数y﹦x²，便有： dy﹦2xdx＋dx² 由此得出： dy/dx﹦2x 比较牛、莱的方法，我们发现只是符号不同，本质是一样的。他俩一开始就把x看成是增长着的量。这是正确的。事实上已经把运动的观点引进了数学之中。然而由于十七世纪机械唯物主义的传统思想禁锢着他们的头脑，他们没有把x的微分与y的微分看成为x与y自身矛盾运动的产物，而是认为一开始就存在着的，是“一下子造成的东西”，是从微分过程外部引进来的。引进后，在整个微分过程中又始终是一种“僵化的东西”、“不变的东西”。至于微分经历怎样的矛盾运动而产生，在牛、莱的方法中看不到了。他们开始把dx′当作无穷小量。这是正确的。但是他们在展开二项式（x＋dx′）²过程中无法去掉dx²这个“尾巴”。 “尾巴”的存在使dy（y′）与dx（x′）之比得不到一个确定的值，这使牛、莱恼火。于是他们对dx²（x²′）实行了“暴力镇压”，半路上把（dx²）（x²′） “打扮”成“0”，挥刀把它砍去。牛、莱在这里失足了。这种“暴力镇压”使他们陷入悖谬之中。开始把x′（dx）当作无穷小量，后来又把它看成“0”。这种自相矛盾的作法显然是违背逻辑的，而且也违背事实。因为，既然承认x′（dx）是一个无穷小量，那么无论它多么地小，毕竟是一个现实的量，不能当作“0”来处理，（x²′）（dx²）应与2xx′（2xdx）一样有存在的权利。牛、莱将它随意抹去的作法是错误的。如果按照“（dx²）﹦0”的方法行事，那么全部运算变成“0﹦0”，一切消失了，什么也得不到。 然而，尽管牛、莱运算的方法是错误的，但结果却是正确的。错误的运算得出了正确结果，本身就是一个矛盾。它揭示了在一定条件下荒谬也可以转化为正确。牛、莱从错误的运算方法出发，通过“变魔术”的方法，求出了函数y﹦x²的微商即y′﹦（x²）′﹦2x，实现荒廖向正确转化。 马克思科学地分析了微分学从牛顿、莱布尼茨到拉格朗日的历史发展过程，指出牛、莱“这个在数学上正确的结果，是基于在数学根本错误的假设”。11他肯定了牛、莱计算的正确结果，批判了他们的形而上学方法，，揭露了微分过程的辩证法，澄清了在此以前微分学理论思维的矛盾和混乱。他在《数学手稿》中，精辟地阐述了微分中的自变量x和因变量y的产生与消失、前进的变化与后退的变化这一矛盾的运动规律，指出微分过程是否定之否定，量变到质变，个别转化为一般的过程。 仍以y﹦x²为例，看看马克思是如何科学阐明从代数到微分运算的矛盾运动过程。 设y﹦x² 首先取差：令自变量x连续变化到x1,得到有限差x﹦x1-x。因变量y随之变化到达y1，则有: y=y1-y=x1²-x²=(x1+x)(x1-x) 其次求预备导数（即有限差之比）： y y1-y (x1+x)(x1-x) ---﹦------﹦---------------- ﹦x1+x x x1-x x1-x 最后取极限： 令x1再变回到x，随之y1也变回到y。则有： x=x-x=0; y=y-y=0.得： 0/0=2x.用dy/dx代替0/0。让它穿上“节日制服”。得到dy/dx﹦2x。 这里，马克思根本没有动用“暴力镇压”（抹去dx²）。却得到了同牛、莱完全一致的结果。等式左边是0/0，本来是不确定的。可以取任意值。然而，右边却等于一个完全确定的值2x。这种由不确定到确定的转化，在形而上学眼里纯属荒廖绝伦。可是辩证法却承认它是天经地义的。这是为什么？原因就在于微积分突破了初等数学只研究常量的传统观念，进入了变数的领域，，运动进入了数学。函数和自变量动起来了。它首先变化到x1，这样产生了对事物的运动位置、状态的第一次否定，得到有限差x﹦x1-x;y﹦ƒ(x1)-ƒ(x).这就把一点的运动状态与其周围的运动状态联系起来了，使我们在运动中把握着运动。接着又令x1变回到x，于是，产生了对运动、状态的第二次否定，即否定之否定。经过以上两次否定，我们不是回到了出发点，而是实现了代数向微分转化的一次飞跃，解决了初等数学无法解决的矛盾。x1退回到x，但这个x已不是当初的x。它在第一次否定中起了变化，只是按名称来说还叫它为变量x。由于x1的后退运动，x和y都消失了，变成了0/0的形式（穿上了“节日制服”后为dy/dx）。但是，“在0/0中没有有显示出是什么东西消失了；仅仅表达了量的方面，即分 子消失了，分母也消失了，从而关系本身也消失了；没有表达出质的关系。质的关系是存在着的。因为分子中的0仅仅是分母中的0的结果。从而它就是表示变量的函数对于变量的依赖关系。”12x和y在第二次否定过程中，仅仅是量的消失，而它们之间质的关系即二者之比的值保留下来了。在第二次否定中，x否定了x1。但x1不是被消灭，而是辩证地扬弃，是既被克服，又被存在。“按其形式来说是被克服了，按其现实的内容来说是被保存了”。13它通过部分地与自己结合，部分地与原函数中的x结合，转化为一种新的形式——原函数的导数。 由此看出，代数运算转化为微分运算是在两次否定过程中完成的。它通过函数自变量x前进与后退的矛盾运动，由量变发展到质变，使代数运算发展为微分运算，常量运算转化为变量运算，有限量的运算飞跃为无限量的运算。代数与微分由导数这座桥梁联系起来了。导数是代数发展的终点，又是微积分的起点。所以马克思说：微分学“本身是用代数方法推出来的”“只有从微分起着计算的出发点的作用时开始，代数向微分方法的转换才告结束。从而微分学本身就作为一种独特、专门的变量的计算方法而出现。”14 二、极限——量与质、有限与无限的对立统一 极限理论是整个微积分的理论基础，它贯穿于微积分学的始终。微积分基本问题的解决，主要概念的建立，都依赖于极限方法。极限概念是客观事物质的规定性和量的规定性的辩证统一，即质和量的辩证统一。数学上的极限概念和哲学的“度”的概念是一致的。辩证法认为：一切发展变化的事物在其发展的各个阶段上总要保持自己质的数量界限。在这个界限内事物就存在。超出了这个界限，该事物便转化为他事物。变化着的事物，在变化过程逐步趋近于一个稳定状态，用数学的语言说即趋向于某一个“常量”。这种趋于稳定的过程，数学上叫做极限过程。这个“常量”就是数学中的极限。哲学上称之为“度”。当客观事物在极限（度）范围内变化时，相对而言主要是量的变化，而无明显质的变化。从而保持了该事物的相对稳定性。一旦变化达到了极限的位置，就会出现质的飞跃，原来的事物消失了，新的事物诞生了。 极限概念又是一个有限与无限的对立统一。有限与无限是客观世界中普遍存在的一对矛盾。物质、运动、时间、空间等等，从量的方面来说都是有限与无限的对立统一。现实世界中的有限与无限，反映到人们的头脑中，经过思维的加工，构成了数学中“量”的有限与无限的矛盾运动，即它们之间的相互转化。微积分在研究变量的关系时，突破了有限，一直深入到无限之中去。它巧妙和不断地运用有限与无限的相互转化取得了一批批重大成果。而这个巧妙的方法就是极限方法。下面举两个例子，看看微积分是如何巧妙运用极限理论来实现有限与无限转化的。 例1、 求运动物体的瞬时速度。 设S（t）为某物体作直线运动的路程函数。当时间从t变到t1，其改变量（增量）t﹦t1-t。路程就从S(t)变到S(t1)=S(t+t)，其改变量是： S﹦S(t1)-S(t)﹦S(t+t)-S(t) 那么，在t到t1这段时间内的平均速度为： _ S S(t+t)-S(t) U﹦---﹦--------------- t t1-t 从上式中看出，不论t怎么样小，S/t仍然是平均速度，不是该运动物体在时刻t的瞬时速度。怎样才能由平均速度转化为瞬时速度呢？它是通过极限方法来实现的。 设t逐步地缩小，并把这一过程推向无限即t→（无限接近）0 那么平均速度S/t就经历一个无限变动过程，最后转化为瞬时速度。描述这一转化过程的表达式是： S S(t+t)-S(t) l¡m ---- ﹦ l¡m ---------------- t→0 t t→0 t 这个式子告诉我：求瞬时速度问题是一个化有限为无限，又从无限认识有限的过程。实现这一转化的桥梁是极限方法。 例2、求变速直线运动的路程。 已知物体运动的速度函数为U=U（t）。如何求物体在时间区间（a‚b)内所走过的路程？我们从初等数学中匀速直线运动的公式知道：路程﹦速度×时间。 但现在要求的是变速直线运动，速度不是常量，而是随时间变化的变量。这就遇到了“变”与“不变”的矛盾。如何解决这一矛盾？还是老办法，就是突破有限，深入无限，利用有限与无限的相互转化，解决“变”与“不变”、“匀”与“不匀”的矛盾。实现这一转变的数学工具还是极限方法。其转化的具体过程是： 第一步：“化整为零”:把时间区间（b‚a）分点a﹦t0＜tl＜t2……＜tn-l＜tn﹦分为n段，各段的区间为： t0﹦tl-t0‚tl﹦t2-tl‚t2﹦t3-t2……tn-l﹦tn-tn-l， tn﹦tn-tn-l 物体在第i个区间内所走的路程为Si 第二步“以匀代变”：把物体在极短的第i个时间间隔中运动的状态，近似地看作匀速运动，即以匀速U(t)代替变速，于是有： ΔS≈U(ti)t (i﹦0‚l‚2‚3……n-l)。 第三步“积零为整”：把物体在各区间内所走过的路程的近似值加起来，所得到的总路程S的近似值： n-l S≈U(t0)Δt0+U(tl)(tl)+……U(tn-l)tn-l﹦∑ U(ti)ti ｉ﹦0 到目前为止尚未完成“匀”与“不匀”的转化，这里的S还不是变速运动物体在时间区间（ａ‚ｂ）内所走过的路程的精确值。要达到预定目的，需要把有限（ａ‚ｂ）时间区间，转化为无限变动的极限过程来研究。于是进入最后一步： 第四步“取极限”：把时间区间（ａ‚ｂ)无限细分，使Ｓ进入无限运动过程。当Δtｉ→0时，就得到了变速运动的路程的准确值： nl S＝lim ∑ U(ti)Δtｉ Δt→0 i=0 比较上述两个例子，尽管它们各属不同研究范畴，前一个问题是微分学所研究的。后一个问题是前一个问题的逆运算，它是积分学研究的内容。然而，它们有着共同的特征，那就是运用极限方法，做“有限”与“无限”的转化工作，从有限到无限再到有限，经过两次否定，微积分中的“直”与“曲”、“变”与“不变“匀”与“不匀”等基本矛盾解决了。人们从有限中认识了无限，把握了无限。在“有限——无限——有限”这个公式中，体现了事物发展否定之否定过程。最后那个“有限”不是回到了原来的出发点，它比前面那个“有限”高了一级。因为它带着解决问题的结果回来了。由此可知，极限概念包含两个方面：它不仅包含极限过程，而且也包含极限结果。从过程来看表现为有限向无限转化；从结果来看，无限又转化为有限。极限概念正是这种过程与结果、有限与无限、常量与变量、量与质的对立统一。 三、“直”与“曲”在微积分中的同一性 恩格斯说：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事”15这句话高度概括了微积分的基本思想。全部微积分学就是建立在解决“直”与“曲”的矛盾，实现这一矛盾相互转化的基础上。形而上学者听到这句话目瞪口呆。大叫“荒谬！荒谬！”在他们眼里直就是直，曲就是曲，怎能等同起来呢？“直线和曲线在微积分中终于等同起来了”16的观点，是无法理解和接受的。这是因为他们用静止、孤立、片面的观点看世界。不管他们承认不承认这一点。然而，生活常识毕竟如此。比如一条毕直的铁路，就其某一段这个局部来讲，它确实是直的。但这条铁路是铺设在地球表面，而地球是椭圆形球体。笔直的铁路是地球表面的一段弧。因此它又千真万确是曲的。宇宙中恒星照射到地球上光线一贯被人们视为绝对的“直”。然而，爱因斯坦的相对论告诉我们，由于引力场作用，空间和时间都会发生弯曲。光线受引力场作用也变曲了。因此，世界上没有绝对的“直”与“曲”，只存在着“直”与“曲”的对立统一体。它们在一定条件下相互转化，“直”与“曲”等同起来了。哲学上称之为直与曲的同一性。 当然，“直”与“曲”的等同和相互转化是相对的、有条件的，绝对不是无条件无差异的同一。微积分是“直”与“曲”转化的桥梁。 在微积分中，直与曲转化的条件是“细分“。直线与曲线的等同是在细分过程中实现的。例如，在微积分中求曲线y＝x²与x轴和直线x＝l所围成的曲边三角形的面积，其方法是： 第一步“化整为零”：把曲边三角形等分为若干个小曲边梯形，并记第ｉ小曲边梯形为ΔS 第二步“以直代曲”：对于每个ΔSｉ用相应的矩形面积近似代替，则有： ΔSｉ＝xｉ²Δxｉ(ｉ＝0，l，……ｎ-l) 第三步“积零为整）：把所有的小矩形面积加起来求出阶梯形面积Sｎ，它是曲边三角形面积S的一个近似值： ｎ-l S≈Sｎ＝ ∑ xｉ²Δxｉ ｉ=0 第四步“取极限”：把曲边三角形无限细分，当Δxｉ→0时，这时每个无限小的矩形面积就转化为微分，近似值变为准确值，从而得到积分： ｎ-1 ∫¹xｄx＝ｌｉｍ ∑ xｉΔxｉ 0 x→0 ｉ＝0 ｎ-1 等式左边是曲边三角形面积，右边的∑ xｉ²Δxｉ是阶梯形面积。两者在极限 ｉ=0 帮助下终于等同起来了，不仅阶梯形的面积等于曲边三角形形的面积。而且此时各无限小曲边形中的“曲边”与相应的无限小矩形中的“直边”也等同起来了。。当然，还应看到，这里“直”与“曲”的等同不是绝对的、无条件的、简单地相等，而是有矛盾有差异的等同，是辩证的等同。从曲边三角形的面积和阶梯形面积的等同上看，它们相差了一个高阶无穷小量。这个无穷小量就是这样一个量：它是“0”而又非“0”，趋向“0”而又不等于“0”。它可以完成非“0”的一切运算。但在解决实际问题时又可以当作“0”用，并不影响计算结果。微积分中“直”与“曲”的转化就是在这个无穷小量的帮助下完成的。 微积分中的“直”与“曲”的等同和转化，突破了初等数学“山穷水尽疑无路”的困境，开辟了由“直”认识“曲”的广阔途征，给数学带来了“柳暗花明又一村”。 说明:因受手机书写限制，文中数学表达式书写不规范，出错较多，应用电脑wordo文档更正。 |
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