函数的周期性一．知识点：1.周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内任何值f(x+T)=f(x)，那么就称f(
x)为周期函数，T为f(x)的周期。2.周期函数的性质：（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。（2）若T（
≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x
）的周期。（4）若f（x）有最小正周期T，那么f（x）的任何正周期T一定是T的正整数倍。（5）若T1、T2是f（x）的两个周期
，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合3.判定定理：定理1.
若f（x）是在数集M上以T为最小正周期的周期函数，则Kf（x）+C（K≠0）和1/f（x）分别是集M和集{X/f（x）
≠0，X∈M}上的以T为最小正周期的周期函数。定理2.若f（x）是集M上以T为最小正周期的周期函数，则f（ax+b）是集{
x|ax+b∈M}上的以T/a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。定理3.设f（u）是定义在集M上的函数，u=g（x
）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g（x）∈M，则复合函数f（g（x））是M1上的周期函数。定理4.设f1（x）、f2（x
）都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍数为它
们的周期。4.几个常见常考周期函数的关系式：（其中a≠0）（1）f(x+a)=-f(x)=>f(x+2a)=f(x)（2）f
(x+a)=1/f(x)=>f(x+2a)=f(x)（3）f(x+a)=-1/f(x)=>f(x+2a)=f(x)（
4）若奇函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x+4a)=f(x)（5）若偶函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x+
2a)=f(x)典型例题（难）：例题1：已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于直线x=1对称，则f(1)+f(2)+…+f(20
19)=_______例题2：已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)且当x∈[0,2]时，f(x)=-2①若
当x∈[-4,-2]时，f(x)≥t?恒成立，则t的取值范围为________②函数g(x)=f(x)?X零点的个数
为________例题答案：例题一：0例题二：t≤9或0＜t≤1；5基础例题若函数f（x）=+bx+c对一切
实数都有f（x+2）=f（2-x）则有（）f（2）＜f（1）＜f（4）f（1）＜f（2）＜f（4）f（2）＜f（4）＜f（1
）f（4）＜f（2）＜f（1）已知定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），f（3-x）=f(x)，则f（2019
）=（）-3B.0C.1D.3已知定义在R上的函数f（x）满足：y=f（x-1）的图像关于点（1，0
）对称，且当0≥0时恒有f（x）=f（x+2），当x∈[0,1]时，f（x）=ex–1，则f（2016）+f（-2015）=（
）A．1–eB.e–1C.–1–eD.e+1定义在R上奇函数f（x）满足f（x+2）
=-f（x），且在[0，2）上单调递减，则下列结论正确的是（）A．0＜f（1）＜f（3）B.f（3）＜0＜f（1）
C．f（1）＜0＜f（3）D.f（3）＜f（1）＜0已知函数f（x）的图像关于点（-3，2）对称，则函数h（x）
=f（x+1）-3的图像的对称中心是_______设f（x）是定义在R上的奇函数，且在(-∞，0)上是减函数，f（-2）=
0，则xf（x）＜0的解集为________7.已知f（x）,g（x）都是定义在R上的函数，且f（x）为奇函数，g（x）的图像关于
直线x=1对称，则下列四个结论中错误的是（）A．y=g[f(x)+1]为偶函数B.y=g[f(x)]为奇函数C.函
数y=f[g(x)]的图像关于直线x=1对称D．y=f[g(x+1)]为偶函数8.定义在R上得函数f(x)满足f(-
x)=f(x),且当x≥0时，f(x)=若对任意得x∈[m,m+1]，不等式f（1-x）≤f（x+m）恒成立，则实数m的最大值
是（）A．-1B.C.-D.答案：A由已知得：对称轴为x=2，由于抛物线开口向上，所以越靠近对称轴值越小
2.B∵f（-x）=-f（x）,∴f（3-x）=-f（x-3），且f（0）=0.又∵f（3-x）=f（x），
∴f（x）=-f（x-3），∵f（x-3）=-f（x-6）,∴f（x）=f（x-6），∴f（x）是周期为6
的函数，∴f（2019）=f（6×336+3）=f（3）=（0）=03.A∵y=f（x-1）的图像关于点（1，0）对称，∴f（
x）的图像关于远点对称，∵当x≥0时恒有f（x）=f（x+2），∴函数f（x）的周期为2∴f（2016）+f（-2015）=f（
0）-f（1）=1–e4.C由函数f（x）时定义在R上的奇函数，得f（0）=0，由f（x+2）=-f（x），得f（x
+4）=-f（x+2）=f（x），故函数f（x）是以4为周期的周期函数∴f（3）=f（-1）又∵f（x）在[0,2）上单调递
减，∴函数f（x）在（-2，2）上单调递减∴f（-1）＞f（0）＞f（1）5.（-4，-1）函数h（x）=f（x+1）-
3的图象是由函数f（x）的图像向左平移1个单位，再向下平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f（x）的图像关于点（-3，2
）对称，所以函数h（x）的图像的对称中心为（-4，-1）6．(-∞，-2]∪[0，2]（1）x=0时，xf（x）=0，满足要求；（
2）x＜0时xf（x）≤0，所以，f（x）≥0f（x）在（-∞，0）上是减函数，f（-2）=0所以，x≤-2（3）x＞0时，xf
（x）≤0，所以，f（x）≤0f（x）为R上的奇函数，且在（-∞，0）上是减函数，所以在（0，+∞）上是减函数，f（2）=0f（x
）≤0，解得，0＜x≤2所以，不等式?xf（x）≤0的解集为(-∞，-2]∪[0，2]B已知得f（-x）=-f（x），g（
1-x）=g（1+x），∵g[f(-x)+1]=g[-f(x)+1]=g[f(x)+1]，∴y=g[f(x)+1]为偶函数
∵f[g(x)]=f[g(2-x)]∴y=f[g(x)]得图像关于直线x=1对称∵f[g(-x+1)]=f[g(x+1)]
∴y=f[g(x+1)]为偶函数∵g[f(-x)]=g[-f(x)]=g[2+f(x)]∴y=g[f(x)]不是基函数C由
题知函数f(x)为偶函数，且当x≥0时，函数f(x)为减函数，则当x＜0时，函数f（x）为增函数。若对任意的x∈[m,m+1]，不等式f(1-x)≤f(x+m)恒成立，则|1-x|≥|x+m|，即≥,所以2（1+m）x≤（1+m）（1-m），当m+1＞0时，x≤,所以m+1≤,解得m≤,所以–1＜m≤；当m+1=0时，不等式成立;当m+1＜0时，x≥，所以m,解得m≥，无解.综上：-1≤m≤，∴m的最大值为 |
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