将军饮马没找到河——一道有趣的几何动态最值问题

今天发现了一道非常有意思的几何动态最值问题，此题本质上是一道将军饮马问题，但是问题中的河流（直线）并没有给出，需要我们分析动点的运动轨迹，找到这条河（直线），是一道非常考察数学思维的问题，解决此题的辅助线，借助了手拉手基本模型。我又对此题进行了小的改编，改成了一道几何结合二次函数，最值问题，其实此题还可以求ON与PN差的最大值……，大家一起来看看吧！如果你有更巧妙的改编方式一起晒出来吧！

试题分析讲解链接：观看试题分析视频请戳我

已知：∠AOB=30°,OP=2,在OA上有一动点M,连接PM,绕P点将M点逆时针旋转90°得到N点,连接PN、ON,

求（PN+O N)^2最小值。

借助手拉手基本模型，可以分析出点N在与OA边垂直的直线上运动。找出点N运动的直线后，就可以借助将军饮马问题的基本模型构造RT三角形OAP·，从而获得所求结论。

（详细分析见视频链接）

改编：已知：∠AOB=30°,OP=2,在OA上有一动点M,连接PM,绕P点将M点逆时针旋转90°得到N点,连接PN、ON,求PN^2+ON^2最小值。

设OM的长度为参数a，分别过M,Nn作OB的垂线，构造一线三等角基本模型，借助三角形全等，勾股定理，把PN和ON的平方分别用含a的代数式表示，再把两条线段的平方和表示为关于a的二次函数，从而求得最值。（（详细分析见视频链接））

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