【原】几何最值问题之2 ——几何作图在几何最值问题中的应用

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初中奥数讲座专题篇之19

几何最值问题之2

——几何作图在几何最值问题中的应用

相伟   上海文来初中

笔者最近遇到一道颇有意思的一道几何最值问题:

题目: 如图, 圆O与圆D相交于A、B两点, BC为圆D的切线, 点C在圆O上, 且AB = BC．

(1) 求证: 点O在圆D的圆周上．

(2) 设圆O的面积为S, 求圆D半径r的最小值. 

分析与解:

第(1)问比较简单, 此处略;

我们重点分析第(2)问.

通常几何最值问题可从代数方法或几何方法入手, 此题我们从几何作图的角度来分析最小值在什么时候取得.

题设圆O为定圆, 圆D是满足如下条件的动圆:

过圆O的圆心O及A、B三点, 且与BC相切.

我们可以先尝试做出满足题设条件的圆D, 此处, 我们将点O在圆D上作为作图依据的已知条件.

作法如下:

先作一定圆O, 取圆O上一定点B, 再取圆O上一动点C, 要使BA = BC, 可作C关于OB的对称点A, 由对称性知点A落在圆O上, 且BA = BC. 由于圆D过点O和点B, 所以点D在线段OB的垂直平分线上, 作OB垂直平分线m. 为使作图方便, 我们从条件BC为圆D的切线入角, 过B作BC的垂线交OB的垂直平分线m于D, 可以证明: 圆D必过点A(作为一道简单的练习, 读者朋友可以尝试证明, 答案见后面分析). 

注记:

(1) 笔者此题一开始从代数方法入手, 发现要分O、D两点在AB两侧和同侧两种情况！后面发现从作图角度入手问题变得显然. 问题的最小值是在A、B两点重合时取得, 此时两圆内切, 题设条件两圆两相交于A、B两点叙述略有问题. 笔者通过在几何画板中演示, 最小值确实是在两圆内切时取得, 几何画板动态演示如下:

http://v.youku.com/v_show/id_XMzMwODE4NTA5Ng==.html?x&sharefrom=android&sharekey=f386281667448f297d8f87c5e36236ab2.

读者朋友关于此问题若有其它的想法, 可以联系我们和大家分享交流.