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xkh3121@sina.com；1090841758@qq.com 许康华老师联系方式： 微信（xkh3121）；QQ（1090841758） 单墫著《初中数学指津：数的故事与灵活策略》 上海辞书出版社，2014 全书分数的故事、数的知识、不定方程、奇偶分析、谁能获胜、计数、存在性和灵活的策略8章。作者从故事入手，以生动的语言、形象的比喻，详细阐述了关于数的概念与知识，以及数学中的一些重要定理，此外，每章还带有练习与解答，旨在以此提高学生的数学想象能力，是一本非常实用的初中数学教辅书。 数学竞赛讲座22几何最值问题之3 甘志国老师一道几何最值问题解析 相伟 骆来根 万时凯 近日, 甘志国老师在群中问到如下一道几何最值问题: 万时凯老师利用柯西不等式给出一个比较简洁的方法, 甘志国老师利用三角方法也给出了一解答, 两个方法见附录. 此题笔者联想到单墫老师《初中数学指津——平面几何的知识与问题》(上海辞书出版社)一书中P64第27题: 书中单墫老师利用中线长公式给出证明. 事实上, 此题也可从以下熟知的结论立马得证. 小结论: 如图, 给定矩形ABCD及平面内任意一点P, 则 构建平面直角坐标系, 不难证明. 回到甘老师问题: (相伟老师给出) 不妨将A视为定点, 如图所示. 此题实际上还可从运动的观点来看问题: (骆来根老师给出) 分析: 由于圆的旋转对称性, 故可使PQ的中点M从半径OB上由B向O运动(不失一般性), PQ的长度逐渐增大. 作以PQ为直径的圆M, 则圆M与圆O的位置关系是从相离到外切, 相交, 内切,内含共五种状态. 因此, AP垂直于AQ只能在圆M与圆O(A)的位置关系为外切或相交、内切时. 不难知道, 当圆M与圆O内切时, PQ有最大值. 注: (1)上述两个方法不难求得PQ的最小值为2. (2) 西安交大附中金磊老师指出, PQ的中点轨迹是以OA中点为圆心的定圆, 后面可转化为三角形法则, 读者朋友们可以尝试完成证明. (3) 许康华老师指出, 此题曾作为浙江富阳中学高中自主招生试题考过. 在《轻松考上高中实验班数学》(许康华编浙江大学出版社)一书出中, 田开斌老师给出过类似骆来根老师的方法. 最后附一道类似题目供读者朋友们练习. 练习: (上海市青浦区2018届高三一模选择最后一题)
读者朋友关于此问题, 有其它好的想法可以在文章后面留言或联系我们和大家交流. 附录一: 万时凯老师方法
附录二: 甘志国老师方法
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