??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
()0∞
6.洛必达法则，一个很实用的法则，主要用于求分式函数在→时，型或型的极限，可反复循环使用.
g()0∞
′
()()
()()
⑴若lim=0且limg=0，则lim=lim．（可以为常数，也可以为∞）
′
g()g()
→→→→
′
()()
⑵若lim()=∞且limg()=∞，则lim=lim．（可以为常数，也可以为∞）
′
g()g()
→→→→
0∞
用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现或时，
0∞
就必须用洛必达法则！
7．函数凹凸性定义及性质：设()在区间上连续，如果对上任意两点，，
12
+()+()
1212
′′
（1）凹函数：()≤()在上的图形是（向上）凹的()≥0（即切线的斜率递增）．如图1．
22
()()
++
1212
′′
（2）凸函数：()≥()在上的图形是（向上）凸的()≤0（即切线的斜率递减）．如图2．
22
其中的不等式又叫琴生不等式.
′′
′′′
满足()=0的实数，
若()在=处取得极值(()=0)，且()>0，则()为极小值；00
0000
′′′
叫做函数()的拐点.
()()
若()在=处取得极值(=0)，且<0，则()为极大值．
0000
函数凹凸性的快速判断与函数单调性的快速判断方法极为类似（对数形结合时准确作图很有帮助）．
1+2
1+2
12
12
图1
2
图22
归纳：根据曲线、切线、单调性、凹凸性关系，可以得出以下结论
（1）对于????≤()(≥0)恒成立，求实数的取值范围.
′′′
()()()
如果0=0，≥0（增函数），≥0（凹函数），则实数的取值范围为≤′(0).
（2）对于????≥()(≥0)恒成立，求实数的取值范围.
′′′
()()()
如果0=0，≥0（增函数），≤0（凸函数），则实数的取值范围为≥′(0).
()?()
′
()
8．拉格朗日中值定理：若函数()在区间(，)内可导，在区间,，-上连续，则?∈(，)，使得=．
00
?
sin1
9．两个重要极限公式：⑴lim=1；⑵lim(1+)=e．
→0→+∞
10．渐近线：有很多函数图象或曲线有渐近线（铅直渐近线、水平渐近线、斜渐近线），作图时就需要注意！
111
()
(1)渐近线：若?∈，使得=0，则=为=图象的渐近线．你能作出=，=等函数的图象吗？
000
()lnsin
高中数学中有渐近线的曲线：
22
①=，②=+(≠0)，③=，④=log，⑤=tan，⑥?=1．
22
(2)斜渐近线：对于=()，若lim=，且lim(?)=，则=()有斜渐近线=+．
→∞→∞
11．⑴如何解超越型不等式()>0？所谓超越型不等式，就是不能通过等价变形，变成一元一次不等式或一元二次不等式，
2
或变成可解的特殊的三角函数不等式．由ln，e，，++，+，，sin，cos等其中几个组合成的不
等式，可称为超越型不等式．
一般来说，解超越型不等式，主要注意以下两个方面：
①确定函数()的定义域，并观察出函数()的零点，常见零点有=0，±1，±e等；
()
②确定()的单调性，结合①，即可求出>0的解集．
⑵如何解超越型方程()=0？如果在研究函数问题中出现了超越型方程()=0，而通过观察又可以找到一个满足这个
方程的根，那么这个根极有可能是方程的唯一根，然后要做的工作就是研究函数=()的单调性.
14
????????
???????? |
|
