如果要让我选一句概率论最值得牢记的话，应该是：风险与发生的概率无关，风险只和伤害的大小强相关。 它告诉我们，面对任何机会，都要考虑如果、万一有害的一面发生，自己是否能够承受得起，不管它的概率有多么小。 但是，大部分人很难理解概率，甚至接受不了概率。 可是，哲人说：“概率是生活的向导。” 同时，概率更是投资的向导。 不夸张地说，如果不懂概率，你永远也无法触摸到投资的本质与真谛。 你不会明白，对于你我这样的普通人，为什么不管投资还是投机并没有本质区别，都是概率游戏；为什么价值投资才是我们最好的选择；为什么投资要交易少；为什么要长期持有…… 又有多少人，就是因为不懂概率，在投资中，在赌博中，在冒险中，输得倾家荡产，甚至丢了性命。 所以，坤鹏论这部分会放慢些节奏，通过这个机会一起巩固一下对概率的认识。 一、统计学的灵魂 之前，坤鹏论比较详细地讲过概率论的发展史。 如果要评其中的大事记的话，下面这条必须榜上有名，还得排在前三： 十七世纪，天才家族的天才之一雅各布·伯努利总结出了震古烁今的大数法则。 他在给其友人——伟大的数学家戈特弗里德·莱布尼茨的信中举了一个愚蠢游戏： 如何确定一个装满了黑球和白球的壶里，黑球和白球的比例呢？ 难道是用一个个数的吗？ 根本不需要！ 只要取出一部分球算出比例，就能够知道趋近实际的比例。 反过来讲，只要知道黑球和白球的比例大致多少，他也能告诉你拿出多少个球就可以验证这个比例。 这就是大数法则，它告诉我们，就算你无法直接得知一件事的真实概率，也能在观察了足够多次的结果后大致估计出这件事的发生概率如何。 雅各布·伯努利在给友人的信中继续写道： “如果你把壶换成一个老人或者年轻人的身体，而身体携带着的致病细菌，就好比是壶中装着的球，那么进行观察后，你就能以同样的思路，知道老者离死亡的距离比年轻人近了多少。” “即使死亡数是无限的，我们却能用有限次的观察估计出两种人死亡数的比例，反复观察会使估计比例逐渐接近实际比例，直至两者之间的差异难以被察觉，这个估计比例不完全准确，但从现实的角度而言已经足够接近。” 1705年，雅各布·伯努利曾这样说道：“在类似条件下，一件事情未来的发生（或不发生）频率将会与过去得出的情况保持一致。” 也就是说，如果能收集到足够多的历史资料进行研究，那么就有可能分析这种包含不确定性的任何复杂游戏。 还记得《物理学神兽之拉普拉斯兽和薛定谔的猫》中提到的拉普拉斯兽吗？ “假设一个智能生物，他能掌握全宇宙中每一个粒子的瞬时位置和速度，根据牛顿力学定律，就可以预测出未来任意时刻粒子的状态，同时也能推算出过去任意时刻粒子的状态。” 显然，创造这只神兽的拉普拉斯的主要信心来源就是雅各布·伯努利的大数法则！ 而且，拉普拉斯也是一位概率论大师，他写的《概率分析理论》一书，可是早期概率史三部里程碑著作之一。 大数法则非常非常有用，它支撑了后世的保险业、投资业、赌博业，甚至是诈骗产业等。 坤鹏论曾说过，这几个行业，本质上都是开赌场，只要自己占有轻微优势，就能立于不败之地。 你琢磨一下，是不是这样的道理？！ 比如：保险，就像经济学家肯尼斯·阿罗评论的那样：“收益微小（不缴纳保险费）对非确定性巨大损失（灾难之后无法获得赔付）的赌博相比，人们更青睐于那种损失微小（每年缴纳保险费）对较少概率的巨大收益（灾难之后获得的保险赔付）的赌博。” 而且，它们自己从来都不会去赌，比如：你拍出50亿美元，要和赌王赌一把掷硬币——“正面我给你50亿美元，反面你的赌场归我。” 赌王是不会和你赌的。 原因很简单，一次根本无法发挥大数定律的威力，且你的赌注超过了普通赌客的千倍万倍，会导致赌场收益的大幅震荡，极端情况下可能导致赌场破产。 当然，这里面还包含着赌场的另一秘密——“无限财富”。 它的意思就是在概率均等的情况下，谁的资本大，谁的赢率高。 如果我们都有5块，对赌，输光为止，咱们的输赢概率是一样的，都是50%对50%。 但是，你有5块，我有10块，你赢的概率就只有33.3%，而输的概率有66.7%。 赌场和散客相比，赌场相当于财富无限多，而且它们还会根据自己的财富能力设定最高的投注限额。 这不是立于不败之地，还是什么？ 同样，大数定律也为保险公司收取保险费提供了理论依据。 对个人来说，出险是不确定的。 对保险公司来说，众多的保单出险的概率是确定的。 承保危险的单位越多，其损失概率的偏差越小，反之，承保危险的单位越少，其损失概率的偏差越大。 所以，保险公司运用大数定律就可以比较精确地预测危险，计算合理的保险费率。 可以说，大数法则是统计学的基本常识，有人称其为“统计学的灵魂”。 值得提醒的是，它属于人来疯，样本数越多，越能发挥作用，并且越稳定。 当年，雅可布·伯努利先是猜想出这个法则，然后花了20年，做了大量实验计算来验证这个猜想。 对于我们普通人来说，大数法则还揭示了财富的秘密——时间、正收益、复利。 所以，永远不要看不起小收益，只要一直为正，时间长了，积累的财富会相当可观。 世界上暴富的人真的不多，到闭眼那刻还是人生赢家的更是凤毛麟角。 但是，世界上靠积累成为富翁的却比比皆是。 二、重温：热力学第二定律和概率 坤鹏论在之前的文章中说过，统计力学主要是在物理学中引入了数学的概率论。 作为统计力学的奠基人玻尔兹曼，他的贡献正如诺贝尔物理学奖获得者、德国物理学家马克斯·冯·劳厄所评价的：“熵与概率之间的联系是物理学的最深刻的思想之一。” 我们再一起温故理解一下。 在克劳修斯、开尔文、麦克斯韦、玻尔兹曼等科学家所处的时代，原子还是理论上的假想物，它看不见摸不着。 但是，这些伟大的科学家都接受流体由原子构成的观点。 特别是玻尔兹曼，堪称最坚定的原子理论信仰者。 他知行合一，一生都致力于探究热力学底下的微观层次中的原子机制。 并且，为了捍卫原子理论，与强大的热力学主力派辩争不止。 这些热力学先驱们假想了一种理想情况——一个密闭容器，里面有气体。 气体由原子构成，但它并不像看上去那样简单或平静，而是包含了大量不断扰动的粒子。 这构成了一个孤立系统。 接着，他们推导出重要结论——粒子的运动杂乱无章、碰撞频繁且持续不断。 同时，他们也意识到，正是粒子的这种运动构成了热。 所以，热不是物质，不是流体，也不是燃素，而是分子的运动。 注：燃素是一个已被取代的化学元素，起源于17世纪，当时的燃素论假设，任何物质在燃烧时，都会释放出一种名叫燃素（Phlogiston）的成分。 每一个分子必定遵守牛顿运动定律。 所以，理论上，每个分子的每个动作、每次碰撞都是可度量、可计算的。 但是，分子的数量实在太多了，无法一个个加以度量和计算。 这事牵扯到统计，而统计的核心就是概率论，统计学的灵魂是大数法则。 概率论发挥奇效了！ 正如之前在《“熵”晦涩难懂？那是因为没学习这几个名词！》和《写下这些记号的，难道是一位凡人？》中展示的四分子例子，只要简单的数学公式就能算出哪种微观态出现的次数最多。  在原子理论基础之上，系统其实就是大量原子的集合体，正如复杂性科学所揭示的，系统的表现是其最小个体自组织行为相互作用的结果。 于是，借助概率，玻尔兹曼用微观态和宏观态在微观细节与宏观行为之间架起了桥梁——包含微观态数最多的宏观态是出现概率最大的状态，也就是系统某宏观态出现的概率与该宏观态对应的微观态数成正比。 假设这个密闭容器被一块隔板隔成两半——A和B。 A的气体比B的热。 也就是A这边的分子平均下来比B那边的分子运动得较快，能量较高。 只要一撤掉隔板，A、B两边的分子开始混乱。 较快的分子碰撞较慢的分子，同时进行能量交换。 最终，密闭容器的宏观态就是气体温度变得均匀一致。 其实，在很长很一段时间里，物理学界对这个过程不可逆很疑惑。 因为“万能”的牛顿运动方程中，时间可以取正值，也可以取负值，从数学上，两个方向都能成立。 当然，现实中，这种过去和未来对调的事情，人类还从来没有遇到过。 而且，从微观细节上观察个体分子的运动，无论时间是向前还是向后，分子的行为都是一样的。 为什么热力学第二定律敢于言辞凿凿地说不可逆呢？ 正如1949年法国物理学家莱昂·布里卢安所说的：“时间一去不返，这一事实让物理学家感到大惑不解，毕竟所有基础物理定律都是可逆的。” 恰恰因为有了统计力学将概率引入物理学，才揭示了此类一去不返的过程。 为什么只能朝一个方向进行，概率就是背后的原因！ 而且，所有不可逆过程都必须用同样的原因来解释。 请大家注意的是，严谨地说，不是不可逆，不是密闭容器中气体不能从混合变得区分开来，而是可逆、可区分开来的概率极其极其渺小。 就像李永乐老师所说：“如果有1000个分子，所有分子都集中在一侧的概率只有10的负301方，这个数有多小呢？如果回到宇宙形成之初，每一秒钟观察一次，一直观察到现在，也不可能看到一次这样的情况！” 图灵也曾开玩笑地提出一个数值N，并赋予它的定义是：“一支粉笔从房间一头扔到另一头，并在黑板上写下一行莎士比亚诗句的几率。” 怎么说呢？ 还是人类太年轻，生命又太短暂！ 对于这类两边概率相差到了极限的事情，要想看到极限小概率的发生，需要时间的，你得拥有无限的寿命；需要钱的，你得拥有无限的钱。 实话说，就概率这一点，物理学家们也是花了很长时间才接受的。 所以，普通老百姓不懂概率，太正常不过了。 明白了这些，我们也应该明白了，时间本身也取决于几率；不可逆性是由于世事无常所导致的…… 所以，热力学第二定律，只是在概率意义上成立。 在统计上，万事万物都将趋于熵最大化，或万事万物最有可能熵最大化 这种可能性在宇宙所有生命体的眼中，是100%。 但是，如果我们的生命可以永恒，热力学第二定律就是个笑话。 事实是，我们无法永恒。 那么，尽管热力学第二定律不是必然，可是，对于我们这些有限的生命体来说，它就是一个伟大的自然定律。 三、不可用的能量叫弥散的能量更合适 严格讲，想制造出永动机的人，他们的初心是——“我们为什么利用不了所有热量？” 是啊，为什么？ 相信，很多人都会有这样的疑问。 但是，很多人因为听到别人，特别是科学家说，不能，于是信了，将其归为常识，不再有半点怀疑。 这就是人类。 这就是为什么人类总是重复愚蠢的事的主要原因之一。 同样，这也是为什么逆向思维是多么可贵，逆向就是反着，反着往往代表着反问——“为什么不……” 如今的我们，最大的问题之一便是疑问太少。 所以，我们不要嘲笑任何提出类似疑问并勇于去实践证明的人。 正是他们的努力，甚至是无数次的失败，才推动了人类科学的不断进步！ 失败真的是成功之母。 真正的成功永远是失败孕育的。 坤鹏论在前面的文章中强调过，能量在转换过程总是变成两种： 一种被称为做功，因为它能够被人类使用； 另一种则成为人类不可用的能量。 这里就有了疑问，那部分人类不可用的能量，难道永远就不可用吗？ 随着科技的发展，以前不可用的能量是否可以变得可用呢？ 对于不可用的能量，开尔文的描述和用词更准确些：“虽然机械能不灭，但一个普遍趋势是机械能会耗散……” 坤鹏论认为，其实耗散也不算精准，可能用弥散更合适些。 因为耗散是消耗和散失，但是，这些不可用的能量并没有被消耗，只是散开，也没有消失。 而且，还容易与比利时物理学家普利高津提出的耗散结构理论混淆。 弥散，指烟雾、气味等向四周扩散，分散开。 从性质上类比，弥散也特别适合能量这样的东西。 是的，能量没有损失，只是弥散了。 弥散掉的能量还在，但无法被人利用。 最早关注到这部分能量的科学家是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦。 他是经典电磁理论的创始人。 他是牛顿之后，爱因斯坦之前，最伟大的物理学家。 当然，也有不少人认为，爱因斯坦也难望其项背，只有沃尔夫冈·泡利比他牛。 麦克斯韦有很多贡献，其中最大的贡献就是电磁学。 他依据库仑、毕奥、萨伐尔、法拉第等前人的一系列发现和实验成果，将电和磁统一起来了，建立了第一个完整的电磁理念体系。 就连爱因斯坦、玻尔兹曼都对他崇拜不已。 玻尔兹曼曾引用歌德的《浮士德》中的一段话对麦克斯韦方程赞赏备至：“写下这些记号的，难道是一位凡人吗？” 麦克斯韦方程是麦克斯韦在19世纪建立的四个描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。 他利用这四个方程计算出了电磁波的传播速度，并发现电磁波的速度与光速相同。 于是，他预言光的本质是电磁波。 当初牛顿可是说光是一种微粒。 后由赫兹由实验证明这一预言的正确性。 牛顿统一了天和地，麦克斯韦统一了电和磁。 据说，麦克斯韦方程是历史上最优美的方程组。 麦克斯韦是天才中的天才，15岁就发表了论文，16岁进入爱丁堡大学，三年完成四年学业，又去了剑桥。 有人曾给物理界的天才排了个名，他以绝对实力进入到了前三。 第一名是牛顿，横跨物理、数学两界，就算到了数学界牛人排行榜，他也能进前五。 第二名是泡利，量子力学研究先驱者之一，可惜他很少发表论文，而是喜欢和同行交换长篇信件。 这哥们儿不仅牛到谁都瞧不上，且属于完美主义者，关键还是个毒舌。 在他的词典中，“彻底错误”都不算恶毒，他曾对一位年轻物理学家的论文评价为Not even wrong，翻译过来“连错误都算不上！” 后来有人把这话引申为与科学哲学上的可证伪性原理相联系的概念：从可证伪性原理的角度上讲，"错误"好歹算是能被证伪的东西，Not even wrong就是连可证伪性都不具有，连错误都不如。 第三名就应该是麦克斯韦了。 他排在爱因斯坦之前。 为什么？ 因为爱因斯坦的数学水平一般，而麦克斯韦基本上是个数学天才。 而且，从某种程度来说，麦克斯韦方程组中蕴含的信息，就是爱因斯坦广义相对论的直接来源。 换句话讲，爱因斯坦相对论这枚鸡蛋，其实是从麦克斯韦方程组这只母鸡的肚子里掏出来的。 而且，他同克劳修斯、玻尔兹曼等人同为统计力学的理论奠基人，而统计力学这个名字就是麦克斯韦提出的。 另外，他的《电磁学通论》，与牛顿的《自然哲学的数学原理》，还有达尔文的《物种起源》齐名。 麦克斯韦是最早关注到弥散的能量的科学家，也就是关注混乱（无序）本身，将其视为熵的本质特性。 细细琢磨一下，无序，这个词并不太像自然科学的概念，倒有点和知识、智能或判断等相似。 麦克斯韦指出： “由此可得出的一个结论是，能量耗散（弥散）的概念取决于我们的知识水平。可用的能量，是那些可以按我们的希望被引导进某个渠道中的能量。而耗散（弥散）掉的能量则是那些我们无法掌握或按意志加以引导的能量，比如：分子混乱扰动的能量，也就是我们所谓的热量。” “混乱，如同与之相关的术语’秩序‘一样，并不是物质本身的属性，而是与观察它们的心智息息相关。一本写得很整洁的备忘簿，在一个不识字的人看来并不混乱，在那位知道上面记着什么的主人看来也不混乱，但在其他识字却读不懂内容的人看来，它则显得无比混乱。同样地，耗散（弥散）掉的能量的概念，对于不能自主利用任何自然界能量的存在物，或是能够跟踪每个分子的运动并在恰当时机俘获它们的存在物而言，都是没有意义的。” 以上是麦克斯韦在1890年写下的一段文字。 显然，他认识到，不管是秩序，还是混乱，都是主观的，因人而异。 人如何而异呢？ 麦克斯韦说是心智。 其实更准确地说，应该是信息，以及行为者或观察者心智。 正是因为今天讲的这两个重要的思考，为了证明热力学第二定律的局限性，麦克斯韦做了一个伟大的思想实验——麦克斯韦妖。 关于它，坤鹏论下次就讲！ 本文由“坤鹏论”原创，转载请保留本信息 |
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