高中数学“余弦定理”的另外二种常规证法

利用勾股定理证明：

（1）当ABC为锐角三角形时。如图一，在RTABD和RTBCD中，

c·c=(b-|DC|)·(b-|DC|)+|BD|·|BD|，

|BD|=asinC，|DC|=acosC. 因此：

c·c=(b- acosC)·(b- acosC)

+(asinC )·( asinC )

展开后得到，

c·c= a·a+ b·b-2 a·bcosC （余弦定理）

（2）当ABC为钝角三角形时，同理可得。

上述方法的证明思路，可追溯到古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》中给出的证明，但是步骤由纯几何形式给出、很繁琐。为此，美国数学家Hassler在1862年出版的《解析几何与球面三角学基础》一书中，利用三角函数知识进行的步骤简化。

射影公式（或和角公式）

在ABC中，C=π-(A+B)，则

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, 即，c=acosB+bcosA（射影公式）.

(1) sinC= sinAcosB+cosAsinB ，两边平方：

(2). c=a·cosB+b·cosA,

b=c·cosA+a·cosC,

a=b·cosC+c·cosB

c·c=ac·cosB+bc·cosA,

b·b=cb·cosA+ab·cosC,

a·a=ba·cosC+ca·cosB

因此，a·a+ b·b - c·c=（ba·cosC+ca·cosB）

+（cb·cosA+ab·cosC）

-（ac·cosB+bc·cosA）

=2 ab·cosC

使用和角公式（或射影公式）推导余弦定理，在19世纪比较常用，我们所知道的数学大家德摩根（De.Morgan,1806-1871）就采用了方法（1）.

德摩根（De.Morgan,1806-1871）