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立足基本图形，会识图善构图 ——2020衢州中考第24题赏析 01 原题呈现 02 试题剖析 本题是以矩形为背景的综合题，题目考查了三角形、矩形的相关知识点，符合课程标准和教材对核心知识的教学要求，有利于有效评价和引领教学。 第一问考查等腰三角形的判定。等腰三角形是轴对称图形，在边、角和顶角角平分线方面有很多特殊的性质．作为特殊三角形，等腰三角形又可以转化为直角三角形。等腰三角形在中考题中往往与其他知识点结合进行考查。本题这一问的难度不大，如果是证边等则第二问可从证全等以及线段和差的角度求解；如果第一问是证角等则第二问可以从证相似和等腰的角度进行求解。 第二、三问要寻找线段的关系，在初中阶段对线段间关系的刻画离不开全等三角形，相似三角形，勾股定理，三角函数等。 全等三角形是初中数学中“空间与图形”的重要内容，是研究平面几何问题的重要工具，在各地市中考题中都会考查全等三角形，试题常以等腰三角形，特殊四边形等为背景，考查线段相等、角相等的证明或线段、面积等的计算。 本题后三问中无论采用哪种方法，相似始终是绕不开的。相似是初中几何的核心模块，也是考查学生分析问题、解决问题等综合能力的重要载体。相似往往与三角形、四边形、圆等几何图形结合，使问题的难度加大。要突破这一难点，不仅要牢固掌握三角形相似的判定、性质和相关定理，还需要借助丰富的图形识别经验。相似三角形基本模型母子相似形、一线三等角形、八字形、A字形等。因此，基本图形的认识、归纳和理解掌握，有助于培养学生直观的图感，为较综合问题解决及在复杂图形中发现或构造相似三角形做好充分的准备。 第三问中有些解法会用到勾股定理和锐角三角函数。这两个知识点有个共同的特点，就是建立起“代数”与“几何”之间的关联。勾股定理是人类智慧的结晶，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一。不仅揭示了直角三角形中三边的数量关系，同时蕴含转化构造等数学思想，而数学思想是数学解题的“灵魂”，是数学研究、发展的指导思想，是数学解题的指路明灯。锐角三角函数是初中数学的重要内容，本题主要考察锐角三角函数的意义，通过转化思想，建立线段比例式。 本题考查知识点较多，涵盖了三角形的大部分知识，而且四个问题环环相扣。如何有效地利用已知条件和相似基本模型添加辅助线，构造三角形相似，得到相似比是本题的解题关键。本题解法多样，解题思路较为灵活。 03 解法赏析 ＋ 思维导图 
04 解题感悟 培养几何直观，会识图 · 几何直观，具有直观形象性．它能够启迪思路，帮助数学理解．因此借助几何直观来学习和理解数学，是学生在数学学习中的重要方向．几何综合性题目具有信息量大、图形复杂的特点，无论是从题设走向结论，还是从结论出发进行思考，我们都需要善于观察图形，能对数学对象的全貌和本质进行直接的把握，这种直接判断建立在对几何图形长期有效的观察和思考的基础上的。本题视角众多，解法多样，不同层面的学生都可以尝试求解，教师在平时的教学中要引导学生读图，识图，最终能构图，更重要的是建立几何直观解题的能力，从多角度培养学生的核心素养。 合理添加辅助线，善构图 · 证明线段成比例或等积式成立的问题，有时很难找到思路，这就需要根据基本事实“平行线分线段成比例”，通过添加平行辅助线构造出A型、x型基本图形达到目的．然而添加的平行辅助线会有多种多样，这就需要合理地引出平行辅助线，而添加有效的平行辅助线是有规律可循的．过特殊点添设平行线，能构造出与已知条件或结论有密切联系的基本图形，达到解题的目的．否则，构造出的基本图形不能铺设由条件到结论的“路”。这“路”的形成有赖于平时解题经验的积累，我们老师也要有意识的帮助学生归纳基本图形，更要从本质上帮助学生理解图形，理解其中所蕴含的数学原理和方法。 加强活动经验的积累，能迁移 · 本题第四问知识迁移，考查学生综合解决问题的能力。问题解决的能力不是一蹴而就的，需要长期培养和渗透。学生学习数学有一个普遍现象，不能灵活应用知识。解决此问题的较好的途径是重视知识形成的过程，加强对知识理解的活动经验的积累。《课标》特别强调：“数学活动经验的积累是提高学生数学素 养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教学 的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程 的结果。” 积累数学活动经验的目的之一是建立数学的感悟、数学的直观。日常教学重视过程教学，不仅有利于进学生对知识的理解， 更能从中学会分析问题的策略、方法，体会抽象、建模、推理的基本数学思想，有利于形成策略性知识，并运用于问题的解决，这是新课标积极倡导和要求的。 基本图形 ·
05 变式应用
06 本期鸣谢
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