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作者汪洋。本文参与遇见数学＃数学蒲公英＃第2次征文活动，参与链接请点击这里. ★ 提示: 如果文中数字/公式显示较大, 请点击右上角中"刷新"即可恢复正常. 1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：
“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信我发现了一种美妙的证法，可惜这里的空白处太小，写不下。” 其内容可用字母表示为  （  的整数， ， ， 为正整数）无整数解。
虽然这个问题在1995年，被怀尔斯彻底解决了，但是深奥难懂。中国的费马粉丝，一定好奇，这种美妙的证法是真的吗？还是老费自以为的呢？或者说根本就是一个谎言。首先，我敢保证谎言是不可能的。老费的人品一定没有问题，就凭老费在数学领域里诸多的贡献（如微积分，解析几何，概率论，数论），与骄人的成就。他没有动机说这个谎。那么至多就是一个“自以为”的美妙的证法了。
那么老费当时的美妙证法会是什么样子呢。因为他给出  为  时猜想是成立的，（当时用的是无穷递降法）。这样上述方程中的 就只需证明为素数  不成立即可了。问题好象得到了大大的简化。上述问题变为了  ，其中 是大于 的素数。方程没有整数解。然而即使是这样，他的无穷递降法好象不能用归法证明对所有的素数 ，方程都没有整数解。
我们再看看他在数论里的思维轨迹，他还有一个得意之作。那就是费马小定理。费马于 1636 年发现。刚好是他提出大理定的头一年。费马小定理:如果 是素数，且 則有，。在一封 1640 年 10 月 18 日的信中他第一次使用了上面的书写方式。同年他把目光投向了一类多项式的因式分解。
，很明显这在实数范围是不能分解因式的。于是他令 。即 ，他试了五个数， 时，均为素数。于是他下结论，所有此形数均为素数。现在我们知道此形数就是著名的费马数。可惜除了前面的五个数，目前为止，其余的费马数都是合数。如 1732 年(老费 1665 年逝世的，都离世六十七了)，欧拉算出 。
当然，老费这么大的数学家，不至于如此草率，验证了四五个数就得出一个结论。这样就有侮辱他的味道了。当 大于 以后，费马数异常的大。在那种纯手工的年代，继续验证成为不可能，老费一定是给出了一个“自以为”的完美证明，才下这样的结论的。
那么这个证明是什么呢?会不会老费在这两起数学事件中犯了同一个我们今人所知道的错误呢。这种可能性很大!!!
上述这个同余式被用来检测一个数是否是素数的方法。叫素性检测。通常都令 为 ，即 ， 其中 是大于 的素数。
有趣的是，不难证明:
因此老费认为，所有的费马数是素数了。
现在我们知道，费马小定的逆定理，并不一定成立，而且如果 不是素数，且 有 。则称 为伪素数，又叫卡迈克尔数。
最早发现的伪素数 ，是萨鲁斯（Sarrus)在 1819 年发现的。而且是最小的一个。因为: 。
而此时费马老先生己经逝世有 154 年了。所以他一定不知道，自己的小定理的逆定理并不成立。
另外他与数学家梅森交往甚密。1640 年 6 月，费马在给梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质。我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”。这封信讨论了形如的数（其中 为素数），我们可以记为:
有趣的是不难证明:
现在我们再来观察一下费马方程:
作一下变形:
其中可证明: 与 的公约数为 或 。所以第二个式中，必定要包含有 个相同的因子。我们记
则还可证明:
显而易见，这是一类用现代思维看起来的伪素数。实际上，在老费的眼中，他误以为是素数，或者跟梅森数一样，不含有多个相同的素因子。这样就”证明”了自己的猜想。我想他在给梅森的信中所指的三个非常重要的性质就是指，费马小定理，费马数及费马大定理。并且视他们均是跟素数问题相关的。
综上猜测的依据有三：一，从时间流上来看，并不矛盾。因为费马大定理在费马小定理后一年发现。二，从意识流上来看，也有一至性。因为后面的费马数，梅森数都跟费马小定有关，即不是素数就是伪素数。三，从他留下的文字信息中可以推测这个过程一定不是特别的长。但书边写不下，后又没有在其它地方写下来。说明当时觉得这个证明美妙，但难度并不大。而且只是费马小定理的一个应用。自觉意义不大。于是其它的地方也懒得写了。同时在给梅森的信中也提到，“发现的三个非常重要的性质“，跟素数有关。
当然以上未必是历史的真相，纯属本人猜测。但本文中另一个附加的价值就是找到了两类伪素数的通式。即梅森数与费马数不是素数就是伪素数。我想老费比我先找到吧，只是那时“伪素数”还没有冠名而己。
其实真相是什么早以不重要，费马大定理的提出，推动了数论的发展才是老费“自以为”作出的最大的贡献。
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