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第一章 数的整除知识点的整理 1.1 整数和整除的意义 （1）零和正整数统称为自然数. 正整数、零、负整数统称为整数. 最小的自然数是0. 最小的正整数是1. 例如：12，0，—7都是整数. 1.5，不是整数. （2）整数除以整数,如果除得的商是整数且余数为零,我们就说 能被整除;或者说能整除. 例如 24÷2=12 我们说：24能被2整除，2能整除24. 注意：“3个字换,4个字不换”. （3）数除以数,如果商是整数或有限小数,我们就说能被除 尽;或者说能除尽.如果商是无限循环小数,我们就说不 能被除尽;或者说除不尽. 例题1 下列哪一个算式的被除数能被除数整除？
10÷3 48÷8 6÷4 解：∵10÷3=3.3 ∴10不能被3除尽，或3除不尽10. ∵48÷8=6 ∴48能被8整除，或8能整除48. ∵6÷4=1.5 ∴6能被4除尽，或4能除尽6. 整除的条件: 1. 被除数、除数都是整数. 2. 商是整数而且余数为零. 1.2 因数和倍数 （1）整数能被整数整除,叫做的倍数,叫做的因数(也称为约数). 例如 12÷2=6 我们说：12是2的倍数，2是12的因数. 一般情况下，大数是小数的倍数，小数是大数的因数. 例题2 分别写出16和13的因数. 解：16的因数有1，2，4，8，16. 13的因数有1，13. ☆求因数的方法:用除法,从1开始试到这个数本身. ☆一个整数的因数有有限个,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身. 例题3 写出2和5的倍数. 解：2的倍数有2，4，6，8，10，… 5的倍数与5，10，15，20，25，… ☆求倍数的方法:用乘法,从这个数本身开始,找它的2倍,3倍,… ☆一个整数的倍数有无数个,最小的倍数是它本身,最大的倍数是没有. 1.3 能被2，5，3整除的数 （1）能被2整除的数个位上是0,2,4,6,8. 能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数. 奇数的个位上是1,3,5,7,9. 偶数的个位上是0,2,4,6,8. 注意：0，—2，—4也是偶数，—1，—3也是奇数. （2）能被5整除的数个位上是0或5. 既能被2整除又能被5整除的数个位上是0. （3）能被3整除的数的各位数字之和能被3整除. 1.4 素数、合数与分解素因数 （1）一个正整数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数(或质数). 如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫做合数. 素数: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,… 合数: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15,… ☆2是最小的素数,唯一的偶素数. 4是最小的合数. 9是最小的奇合数. ☆1既不是素数,也不是合数.这样正整数又可以分成1、素数和合数三类. ☆100以内的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97. 共25个. 2~100的正整数中,除2,3,5,7以外,不是2,3,5,7的倍数的数都是 素数. 例题4 判断18，27，29，35，37，91是素数还是合数. 解：29，37是素数.（它们不是2，3，5，7的倍数） 18，27，35，91是合数.（它们分别是2，3，5，7的倍数） （2）每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数.把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数. ☆素因数既是素数,也是合数的因数. 例题5 把60分解素因数. 解： 注意：60的素因数有2，2，3，5. 共4个. ☆用短除法分解素因数 (1)用2,3,5,7,…作为除数去试商. (2)直到商为素数. (3)将除数和商一起从小到大写成连乘的形式. 1.5 公因数与最大公因数 （1）几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数;其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数. 例如:24和32的公因数有1,2,4,8. 最大公因数是8. （2）如果两个整数只有公因数1,那么称这两个数互素. 注意：(1)两个不同的素数一定互素.例如:3和7. (2)连续的正整数一定互素.例如:14和15. (3)1与任意正整数互素.例如:1和8. (4)一个是素数,另一个是合数,但合数不是素数的倍数, 这两个数互素.例如:16和23. (5)最大公因数为1的两个合数互素.例如:4和9. 例题6 求18和30的最大公因数.（分解素因数法） 解： ∴18和30的最大公因数为. ☆最大公因数=公有素因数的乘积 例题7 求48和60的最大公因数.（短除法） 解： ∴48和60的最大公因数为. ☆用公有素因数作为除数,连续去除直到商互素.最大公因数=所有除数的乘积. （3）两个整数中,如果两个数有倍数关系,那么最大公因数为它们的较小数.如果两个数互素,那么最大公因数为1. 例如：3和15的最大公因数为3. 6和7的最大公因数为1. 1.6 公倍数与最小公倍数 （1）几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数,其中最小的一个叫做的它们的最小公倍数. 例如:3和4的公倍数有12,24,… 最小公倍数是12. 例题8 求18和30的最小公倍数.（分解素因数法） 解： ∴18和30的最小公倍数为. ☆最小公倍数=公有素因数和剩余素因数连乘的积. 例题9 求36和48的最小公倍数.（短除法） 解： ∴36和48的最小公倍数为. ☆用公有素因数作为除数,连续去除直到商互素.最小公倍数=所有除数和商的乘积. （2）两个整数中，如果两个数有倍数关系,那么最小公倍数为它们的较大数. 如果两个数互素,那么最小公倍数为它们的乘积. 例如：3和15的最小公倍数为15. 6和7的最小公倍数为6×7=42. 拓展 求三个整数的最小公倍数 例题 求8，12和30的最小公倍数. 8，12和30的最小公倍数为2×2×3×2×1×5=120. ☆先用三个数的公因数2；再用两个数的公因数2,3；直到任意两 个商都互素，把所有的除数和商都相乘. |
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