高中数学：解三角形问题中的常见错解分析

解三角形问题是个难点，怎样才能突破这个难点呢？只有正确理解三角形中的边角关系，即三角形中的边角等量关系、边角的不等关系及内角和关系，才能克服这个难点。下面就解三角形问题中的常见错误进行分析。

 

一、不注意三角形的边角关系，造成角的范围变化而致错

例1  在△ABC中，，试判断三角形的形状。

错解：由，得，所以，知此三角形为等腰三角形。

分析：上面的式子不是等价变换，未考虑三角形中角的范围而致错。由已知得或，所以A=B或。

故△ABC是等腰三角形或直角三角形。

 

例2  A、B、C为△ABC的内角，且，，求的值。

错解：由，知，得，，知，所以，从而或。

分析1：由于，，故，两边乘以外接圆的直径2R，得。

故角一定是锐角，于是，知。

分析2：由且，而余弦函数在上为减函数，得，由，得或。所以或（不合题意），显然B为锐角。（以下过程请同学们自己做一做）

为了得到第三种解法，下面给出一个命题。

命题：在△ABC中，给定角A、B的正弦值或余弦值，则角C的正弦或余弦有解（即存在）的充要条件是。

证明：角C有解

故判断角C是否有解，只需考虑的符号。

分析3：利用上面的命题可轻易得解，当时，，此时角C无解；当时，，此时角C有解，故。

 

二、讨论问题不彻底而致错

例3  已知△ABC中，，AB=，AC=2，求△ABC的面积。

错解：由正弦定理得，所以，得，故。

分析：实际上，由可得或，因为它们都满足“大边对大角，小边对小角”的条件。

由正弦定理得，又因，所以或。

当时，，于是，当时，，于是。

故△ABC的面积是或。

 

三、忽视取最值条件而致错

例4  在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，D是BC边上一点，AD⊥BC，垂足为D且AD=BC=a，求的最大值。

错解：

（由所确定）。

∴的最大值是。

分析：在上述错解中，*式等号成立的条件是当且仅当，，即，当时，∠CAD和∠BAD两者必有一个其正切值大于，而当时，，无论哪种情况必有，就是说*式中等号不能成立。

设，则，

当点D、C重合时，当点D、B重合时，故。

显然时，，当时，由函数单调性定义知递减，当时，递增，所以的最大值在或时取得，因，所以的最大值是。

 

四、忽视构成三角形的条件而致错

例5  a、、为钝角三角形的三边，求a的范围。

错解：为最大边，设它的对角为，由余弦定理知

，得，所以。

分析：此解法是不完整的，只考虑最大边的对角为钝角，没有注意、、三边能否构成三角形，因此还应该注意“三角形中的两边之和大于第三边”这个隐含条件。

由上述解法并结合知，故a的范围是。

从上述各例中，我们可以看到忽视各种条件对角范围的制约，就可能导致错解。因此在三角形问题中，要认真审题，洞察和显化隐含条件，只有这样才能提高解题的正确率。

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