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在从数学和物理学方面讨论圆锥曲线前，我们先来聊一个非常有意思的话题：男女吸引。打开这个链接的同学，应该已经是高中生了吧，对男女之间的相互吸引已经不陌生了。这是一个轻松而且愉悦的话题。 那么男女之间的吸引与圆锥曲线有什么关系呢？让我们慢慢分析一下，看看男女吸引是否可以简化到圆锥曲线模型上来，我们不仅学到了圆锥曲线的知识，同时也为我们将来寻找真爱提供一个模型参考。不仅在高考中得分，在漫漫人生中也得分，不走弯路。 男女之间的吸引就如万有引力一样，存在一个简化模型公式。吸引力F = G*m*M/r^2。  我们就像一颗恒星，时刻想捕获一个从我们身边划过的行星（心仪对象），怎么才能安全地捕获到呢？那就要求，两个人的质量要匹配，你的质量太小，对方质量太大，她/他就会擦肩而过，划过一道漂亮的双曲线或抛物线；或者你的质量太大，他/她的质量太小，角度不对，他/她可能直冲你撞了过来，然后一阵火花四射；要像成功捕获，并形成稳定的椭圆环绕运行，质量要正正好，速度，角度也都要正正好，不能太慢也不能太快。 看到了吗？要像俘虏一个非常优秀的异性，你就必须拥有足够捕获她/他的势能，否则她/他就会像颗流星一样转瞬即逝。学好圆锥曲线可以增加你的势能哦。 在我们的日常生活中，圆锥曲线也无处不在。我想我们现代人对汽车不会陌生吧，汽车的前大灯的反射镜面就是圆锥曲面，它是由一条抛物线母线沿对称轴旋转180度得来。  抛物面反射镜有一个焦点F，在其焦点F上放置一个点光源，则点光源发出的光线经抛物面反射镜反射后，光线将平行ox轴射出，光线的光路为FAB，光线非常集中，适宜用于远距离照明。 如果将点光源从焦点F向前移到S时，由S点发出的光线经抛物面反射镜反射后光路为FAC,光线照在汽车正前方的近距离处，适宜近距离照明。考虑到抛物面的绕轴旋转对称性，在近灯丝附近设置一个遮光罩，将除了向下的其它方向上的光线遮住，以达到近光灯只照射到车头前的地面上。 圆锥圈线在光学上的还有如下一些特性： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上。 从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的对称轴。 一束平行光垂直于抛物线的准线，向抛物线的开口射进来，经抛物线反射后，反射光线汇聚在抛物线的焦点。 很早以前，天文学家认为，行星围绕恒星旋转的轨迹为标准的园，德国天文学家开普勒通过计算火星的运行轨迹，揭示了行星围绕恒星旋转的轨迹为椭圆，恒星恰巧就在椭圆的一个焦点上。  向外抛出的物体，由于受到地球的吸引，最终坠落到地面，它在空中飞行的轨迹就是一个抛物线。比方说，子弹、炮弹飞行的轨迹。 圆锥曲线定义和在高考中的地位 圆锥曲线（conic section）是由一平面截二次锥面得到的曲线。包括椭圆（圆为椭圆的特例），抛物线，双曲线。圆锥曲线（二次曲线）的（不完整）统一定义：到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离的比值是一个常数e（离心率）的所有点的集合（轨迹）。当e>1时，为双曲线的一支；当e=1时，为抛物线；当0<e<1时，为抛物线；当e=0时，为一点； 有人说过：如果对圆锥曲线不熟悉，不能快速求解圆锥曲线的相关问题，高考数学不可能得到高分。 可见圆锥曲线的知识点在高考中占据的地位。通过对历年高考试卷的分析，事实的确如此。圆锥曲线相关考题在历年高考数学考试中所占分值较高。 为了从根本上了解掌握圆锥曲线，有必要对其历史的来龙去脉进行一下梳理。 阿波罗尼 说到圆锥曲线的起源，就必须要说古希腊的数学研究。2000多年前，古希腊数学家就开始研究圆锥曲线了，并取得了很多成就。其中，最耀眼的要数阿波罗尼和他的著作《圆锥曲线》了。 古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支（把圆锥面换成相应的二次锥面时,则可得到双曲线）。 阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。 阿波罗尼的成就太巨大了，以至于在他后面的上千年里，在圆锥曲线研究方面，其他人都没有什么突破。 直到16世纪，有两件事促使了人们对圆锥曲线作进一步研究。一是德国天文学家开普勒（Kepler,1571~1630）继承了哥白尼的日心说，揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行的事实；二是意大利物理学家伽利略（Galileo,1564~1642）得出物体斜抛运动的轨道是抛物线。 开普勒和伽利略 开普勒定律是德国天文学家开普勒提出的关于行星运动的三大定律。第一和第二定律发表于1609年，是开普勒从天文学家第谷观测火星位置所得资料中总结出来的；第三定律发表于1619年。这三大定律又分别称为椭圆定律、面积定律和调和定律。 ①椭圆定律：所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。 ②面积定律：行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过的面积相等。 ③调和定律：所有行星绕太阳一周的恒星时间(Ti)的平方与它们轨道半长轴(ai)的立方成比例，即 T1^2/T2^2 = a1^3/a2^3。  伽利略是意大利天文学家，物理学家和工程师。伽利略研究了速度和加速度，重力和自由落体，相对论，惯性，弹丸运动原理，并从事应用科学和技术的研究，描述了摆的性质和“ 静水平衡”，发明了温度计和各种军事罗盘，并使用用于天体科学观测的望远镜。他的这些成就就是我们初中，高中物理科目的重点内容。他发现物体斜抛运动的轨迹就是抛物线。  笛卡尔与费马 而当法国另外两位数学家笛卡儿和费马创立了解析几何，人们对圆锥曲线的认识进入了一个新阶段，对圆锥曲线的研究方法既不同于阿波罗尼，又不同于投射和截影法，而是朝着解析法的方向发展，即通过建立坐标系，得到圆锥曲线的方程，进而利用方程来研究圆锥曲线，以期摆脱几何直观而达到抽象化的目标，也可求得对圆锥曲线研究高度的概括和统一。 欧拉 到18世纪，人们广泛地探讨了解析几何，除直角坐标系之外又建立极坐标系，并能把这两种坐标系相互转换。在这种情况下表示圆锥曲线的二次方程也被化为几种标准形式，或者引进曲线的参数方程。1745年欧拉发表了《分析引论》，这是解析几何发展史上的一部重要著作，也是圆锥曲线研究的经典之作。在这部著作中，欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述，从一般二次方程出发，圆锥曲线的各种情形，经过适当的坐标变换，总可以化以下标准形式之一：继欧拉之后，三维解析几何也蓬勃地发展起来，由圆锥曲线导出了许多重要的曲面，诸如圆柱面、椭球面、单叶和双叶双曲面以及各种抛物面等。 圆锥曲线无论在数学以及其他科学技术领域，还是在我们的实际生活中都占有重要的地位，人们对它的研究也不断深化，其研究成果又广泛地得到应用。这正好反映了人们认识事物的目的和规律。 |
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