网上关于 PID
算法的文章很多,但是感觉有必要自己再进行一次总结,抽丝剥茧地重新认识了一下 PID
;
1 前言 控制系统通常根据有没有反馈会分为开环系统和闭环系统,在闭环系统的控制中,PID
算法非常强大,其三个部分分别为;
PID
算法可以自动对控制系统进行准确且迅速的校正,因此被广泛地应用于工业控制系统。
2 开环控制 首先来看开环控制系统,如下图所示,隆哥蒙着眼 ,需要走到虚线旗帜 所表示的目标位置,由于缺少反馈(眼睛可以感知当前距离和位置,由于眼睛被蒙上没有反馈 ,所以这也是一个开环系统 ),最终隆哥会较大概率偏离预期的目标,可能会运行到途中实线旗帜 所表示的位置。
开环系统的整体结构如下所示;
这里做一个不是很恰当的比喻;
Input
:告诉隆哥目标距离的直线位置(10米 );Controller
:隆哥大脑中计算出到达目标所需要走多少步 ;Process
:双腿作为执行机构,输出了相应的步数,但是最终仍然偏离了目标;看来没有反馈的存在,很难准确到达目标位置。
3 闭环控制 所以为了准确到达目标位置,这里就需要引入反馈,具体如下图所示;
在这里继续举个不怎么恰当的比喻;隆哥重获光明之后,基本可以看到目标位置了;
第一步Input
:告诉隆哥目标距离的直线位置(10米 ); 第二步Controller
:隆哥大脑中计算出到达目标所需要走多少步 ; 第三步Process
:双腿作为执行机构,输出了相应的步数,但是最终仍然偏离了目标; 第四步Feedback
:通过视觉获取到目前已经前进的距离 ,(比如前进了2米 ,那么还有8米的偏差 ); 第五步err
:根据偏差重新计算所需要的步数 ,然后重复上述四个步骤,最终隆哥达到最终的目标位置。 4 PID 4.1 系统架构 虽然在反馈系统下,隆哥最终到达目标位置,但是现在又来了新的任务,就是又快 又准 地到达目标位置。所以这里隆哥开始采用PID Controller
,只要适当调整P
,I
和D
的参数,就可以到达目标位置,具体如下图所示;
隆哥为了最短时间内到达目标位置,进行了不断的尝试,分别出现了以下几种情况;
经过不断的尝试,终于找到了最佳的方式,其过程大概如下图所示;
这里依然举一个不是很恰当的比喻;
第一步:得到与目标位置的距离偏差(比如最开始是10米 ,后面会逐渐变小); 第二步:根据误差,预估需要多少速度,如何估算呢,看下面几步; P
比例则是给定一个速度的大致范围,满足下面这个公式;
因此比例作用相当于某一时刻的偏差 (err
)与比例系数 的乘积,具体如下所示;
比例作用 绿色线 为上述例子中从初始位置到目标位置的距离变化;红色线 为上述例子中从初始位置到目标位置的偏差变化,两者为互补的关系;
I
积分则是误差在一定时间内的和,满足以下公式;
如下图所示;
红色曲线阴影部分面积即为积分作用的结果 ,其不断累积的误差,最终乘以积分系数 就得到了积分部分的输出;
D
微分 则是误差变化曲线某处的导数,或者说是某一点的斜率,因此这里需要引入微分;
从图中可知,当偏差变化过快,微分环节会输出较大的负数,作为抑制输出继续上升,从而抑制过冲。
综上, ,分别增加其中一项参数 会对系统造成的影响总结如下表所示;
参数 上升时间 超调量 响应时间 稳态误差 稳定性 Kp 减少 增加 小变化 减少 降级 Ki 减少 增加 增加 消除 降级 Kd 微小的变化 减少 减少 理论上没有影响 小,稳定性会提升
4.2 理论基础 上面扯了这么多,无非是为了初步理解PID
在负反馈系统中的调节作用,下面开始推导一下算法实现的具体过程;PID
控制器的系统框图如下所示;
图片来自Wiki 因此不难得出输入 和输出 的关系;
是比例增益; 是积分增益; 是微分增益;
4.3 离散化 在数字系统中进行PID算法控制,需要对上述算法进行离散化;假设系统采样时间为 则将输入 序列化得到;
将输出 序列化得到;
所以最终可以得到式①,也就是网上所说的位置式PID :
将式①再做一下简化;
最终得到增量式PID 的离散公式如下:
4.4 伪算法 这里简单总结一下增量式PID实现的伪算法;
previous_error := 0 //上一次偏差 integral := 0 //积分和 //循环 //采样周期为dt loop: //setpoint 设定值 //measured_value 反馈值 error := setpoint − measured_value //计算得到偏差 integral := integral + error × dt //计算得到积分累加和 derivative := (error − previous_error) / dt //计算得到微分 output := Kp × error + Ki × integral + Kd × derivative //计算得到PID输出 previous_error := error //保存当前偏差为下一次采样时所需要的历史偏差 wait(dt) //等待下一次采用 goto loop
5 C++实现 这里是增量式PID算法的C语言实现;
pid.cpp
#ifndef _PID_SOURCE_ #define _PID_SOURCE_ #include #include #include 'pid.h' using namespace std ;class PIDImpl { public : PIDImpl( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki ); ~PIDImpl(); double calculate ( double setpoint, double pv ) ; private : double _dt; double _max; double _min; double _Kp; double _Kd; double _Ki; double _pre_error; double _integral; }; PID::PID( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki ) { pimpl = new PIDImpl(dt,max,min,Kp,Kd,Ki); }double PID::calculate( double setpoint, double pv ) { return pimpl->calculate(setpoint,pv); } PID::~PID() { delete pimpl; }/** * Implementation */ PIDImpl::PIDImpl( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki ) : _dt(dt), _max(max), _min(min), _Kp(Kp), _Kd(Kd), _Ki(Ki), _pre_error(0 ), _integral(0 ) { }double PIDImpl::calculate( double setpoint, double pv ) { // Calculate error double error = setpoint - pv; // Proportional term double Pout = _Kp * error; // Integral term _integral += error * _dt; double Iout = _Ki * _integral; // Derivative term double derivative = (error - _pre_error) / _dt; double Dout = _Kd * derivative; // Calculate total output double output = Pout + Iout + Dout; // Restrict to max/min if ( output > _max ) output = _max; else if ( output < _min ) output = _min; // Save error to previous error _pre_error = error; return output; } PIDImpl::~PIDImpl() { }#endif
pid.h
#ifndef _PID_H_ #define _PID_H_ class PIDImpl ;class PID { public : // Kp - proportional gain // Ki - Integral gain // Kd - derivative gain // dt - loop interval time // max - maximum value of manipulated variable // min - minimum value of manipulated variable PID( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki ); // Returns the manipulated variable given a setpoint and current process value double calculate ( double setpoint, double pv ) ; ~PID(); private : PIDImpl *pimpl; };#endif
pid_example.cpp
#include 'pid.h' #include int main () { PID pid = PID(0.1 , 100 , -100 , 0.1 , 0.01 , 0.5 ); double val = 20 ; for (int i = 0 ; i < 100 ; i++) { double inc = pid.calculate(0 , val); printf ('val:% 7.3f inc:% 7.3f\n' , val, inc); val += inc; } return 0 ; }
编译并测试;
g++ -c pid.cpp -o pid.o# To compile example code: g++ pid_example.cpp pid.o -o pid_example
6 总结 本文总结了PID
控制器算法在闭环系统中根据偏差变化的具体调节作用,每个环节可能对系统输出造成什么样的变化,给出了位置式和增量式离散PID
算法的推导过程,并给出了位置式算法的C++
程序实现。