中考操作与实践题集锦练习

1、在锐角△ABC中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A₁BC₁．

（1）如图1,当点C₁在线段CA的延长线上时,求∠CC₁A₁的度数；

（2）如图2,连结AA₁,CC₁.若△ABA₁的面积为4,求△CBC₁的面积；

（3）如图3,点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针

方向旋转过程中,点P的对应点是点P₁,求线段EP₁长度的最大值与最小值.

 

2、将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．

（1）如图①，对△ABC作变换[60°，]得△AB′C′，则S_△AB′C′：S_△ABC=　3　；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为　60　度；

（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；

（4）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值．

3、阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值。

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新

组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转

60°得到△A^’BC,连接,当点A落在上时,此题可解

（如图2）．请你回答：AP的最大值是        ．

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4,P为△ABC内部一点，

则AP+BP+CP的最小值是         .（结果可以不化简）

4、阅读下面材料：

    小阳遇到这样一个问题：如图（1），O为等边△内部一点，且，求的度数.

小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的.他的作法是：如图（2），把△绕点A逆时针旋转60°，使点C与点B重合，得到△，连结. 则△是等边三角形，故，至此，通过旋转将线段OA、OB、OC转移到同一个三角形中.

（1）请你回答：.（2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题：

已知：如图（3），四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=60°，∠DCB=30°，AC=5，CD=4.求四边形ABCD的面积.

5、阅读下列材料：

问题：如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB的度数．

小娜同学的想法是：不妨设PA=1， PB=2，PC=3，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连结PE，问题得以解决．

请你回答：图2中∠APB的度数为           ．

请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：

    如图3，P是等边三角形ABC内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．

（1）在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；

（2）求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于              ．

        图1                    图2                               图3

6、 数学课上，同学们探究发现：如图1，顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形. 并且对其进行了证明.

（1）证明后，小乔又发现：下面两个等腰三角形如图2、图3也具有这种特性．请你在

图2、图3中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数；

 

（2）接着，小乔又发现：直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形斜边上的中线可以把它分成两个小等腰三角形．请你画出一个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出此三角形的各内角的度数．（说明：要求画出的既不是等腰三角形，也不是直角三角形．）

7、小杰遇到这样一个问题：如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF，△AEF的三条高线交于点H，如果AC=4，EF=3，求AH的长．

小杰是这样思考的：要想解决这个问题，应想办法将题目中的已知线段与所求线段尽可能集中到同一个三角形中．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现可以通过将△AEH平移至△GCF的位置(如图2)，可以解决这个问题．

请你参考小杰同学的思路回答：

（1）图2中AH的长等于       ．（2）如果AC=a，EF=b，那么AH的长等于        ．

图1                                    图2

8、定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，，，则点就是四边形的准内点．

（1）如图2， 与的角平分线相交于点．

求证：点是四边形的准内点．

（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）．

9、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：

我们定义: 如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度a (0° <a <360°) 后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形. 如等边三角形就是一个旋转角为120°的旋转对称图形. 如图1，点O是等边三角形△ABC的中心, D、E、F分别为AB、BC、CA的中点, 请你将△ABC分割并拼补成一个与△ABC面积相等的新的旋转对称图形.

                      图1                           图2

小明利用旋转解决了这个问题，图2中阴影部分所示的图形即是与△ABC面积相等的新的旋转对称图形.

请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题：

    如图3，在等边△ABC中, E₁、E₂、E₃分别为AB、BC、CA 的中点，P ₁、P₂,  M₁、M₂,  N₁、N₂分别为AB、BC、CA的三等分点. 

      （1）在图3中画出一个和△ABC面积相等的新的旋转对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）；

      （2）若△ABC的面积为a，则图3中△FGH的面积为           ．

10、如图，D是△ABC中AB边的中点，△BCE和△ACF都是等边三角形，M、N分别是CE、CF的中点.

（1）求证：△DMN是等边三角形；

（2）连接EF，Q是EF中点，CP⊥EF于点P. 求证：DP＝DQ.

同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面

两位同学的解题思路作为参考：

小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造

三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要

证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.

11、 阅读下列材料

小华在学习中发现如下结论：如图1，点A，A₁，A₂在直线l上，

当直线l∥BC时，.

请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹）：

(1)如图2，已知△ABC，画出一个等腰△DBC，使其面积与△ABC面积相等；

(2)如图3，已知△ABC，画出两个Rt△DBC，使其面积与△ABC面积相等(要求：所画的两个三角形不全等)；

  (3)如图4，已知等腰△ABC中，AB=AC，画出一个四边形ABDE，使其面积与△ABC面积相等，且一组对边DE=AB，另一组对边BD≠AE，对角∠E=∠B.

         图2                         图3                       图4

12、阅读材料1：把一个或几个图形分割后，不重叠、无缝隙的重新拼成另一个图形的过程叫做“分割——重拼”．如图1，一个梯形可以分割——重拼为一个三角形；如图2，任意两个正方形可以分割——重拼为一个正方形．

（1）请你在图3中画一条直线将三角形分割成两部分，将这两部分重新拼成两个不同的四边形，并将这两个四边形分别画在图4，图5中；

阅读材料2：

如何把一个矩形ABCD（如图6）分割——重

拼为一个正方形呢？操作如下：

①画辅助图:作射线OX，在射线OX上截取OM＝AB，

MN＝BC．以ON为直径作半圆，过点M作MI⊥OX，

与半圆交于点I；

②如图6，在CD上取点F，使AF＝MI ，作BE⊥

AF，垂足为E．把△ADF沿射线DC平移到△BCH的

位置，把△AEB沿射线AF平移到△FGH的位置，得四边形EBHG．

（2）请依据上述操作过程证明得到的四边形EBHG是正方形.

13、⑴阅读下面材料并完成问题：

已知：直线AD与△ABC的边BC交于点D，

①如图1，当BD=DC时，则S_△ABD________S_△ADC．(填“=”或“＜”或“＞”)

      

 图1                    图2                   图3

②如图2，当BD=DC时，则      ．

③如图3，若AD∥BC,则有      ．(填“=”或“＜”或“＞”)

⑵请你根据上述材料提供的信息，解决下列问题：

过四边形ABCD的一个顶点画一条直线，把四边形ABCD的面积分成1︰2的两部分．（保留画图痕迹）

14、 在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．

小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将的面积直接填写在横线上__________________；

思维拓展：

（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为、、（），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积填写在横线上__________________；

探索创新：

（3）若中有两边的长分别为、（），且的面积为，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为）中画出所有符合题意的(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上__________________．

  

15、阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形, DAOB=DCOD =90°．若△BOC的面积为1， 试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积．

图1                          图2

小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E, 使得OE=CO, 连接BE, 可证△OBE≌△OAD, 从而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）．

请你回答：图2中△BCE的面积等于             ．

请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：

如图3，已知△ABC, 分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI, 连接EG、FH、ID．

（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长  度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；

（2）若△ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于        ．

16、阅读下面材料：问题：如图①，在△ABC中， D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．

小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．

（1）请你回答：图中BD的长为    ；

（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．

                                                                                  

17、阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF=45°，连结EF，求证：DE+BF=EF．

 

小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．

请回答：在图2中，∠GAF的度数是        ．

参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：

（1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，若∠BAE=45°，DE=4，则BE=         ．

（2）如图4，在平面直角坐标系xOy中，点B是x轴上一动点，且点A（，2），连结AB和AO，并以AB为边向上作正方形ABCD，若C（x，y），试用含x的代数式表示y，则y=             ．

18、小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l的同侧有A、B两点，请你在直线l上确定一点P，使得PA+PB的值最小.小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的：

①作点A关于直线l的对称点A′. ②连结A′B，交直线l于点P.　　则点P为所求.

请你参考小明的作法解决下列问题：

（1）如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得△PDE的周长最小.

①在图1中作出点P.（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）                  

②请直接写出△PDE周长的最小值        .

（2）如图2在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G为边AD的中点，若E、F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且EF=1，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图2中确定点E、F的位置.（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF周长的最小值     .    

19、将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度,并使各边长变为原来的n倍,得△AB′ C′ ,即如图①,∠BAB′ ＝θ,,我们将这种变换记为[θ,n].

(1)如图①,对△ABC作变换[60°,]得△AB′ C′ ,则: =_______;直线BC与

直线B′C′所夹的锐角为_______度;

(2)如图② ,△ABC中,∠BAC=30° ,∠ACB=90° ,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′ C′ ,使

点B、C、在同一直线上,且四边形ABB′C′为矩形,求θ和n的值;

(3)如图③ ,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36° ,BC=1,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′C′ ,

使点B、C、B′在同一直线上,且四边形ABB′C′为平行四边形,求θ和n的值.

20、对于平面直角坐标系中的任意两点,我们把叫做两点间的直角距离，记作.

(1)已知O为坐标原点，动点满足=1，请写出之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中出所有符合条件的点P所组成的图形；

（2）设是一定点，是直线上的动点，我们把的最小值叫做到直线的直角距离，试求点M（2,1）到直线的直角距离。

1、解: （1）由旋转的性质可得∠A₁C_1-B =∠ACB =45°，BC=BC₁  ∴∠CC₁B =∠C₁CB =45°   ..……2分

∴∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=45°＋45°=90°  .……3分

（2）∵△ABC≌△A₁BC₁    ∴BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC_1-    ∴        ∠ABC+∠ABC_1-=∠A₁BC_1-+∠ABC_1-∴∠ABA₁=∠CBC₁     ∴△ABA₁∽△CBC₁      .………5分

∴  ∵    ∴    …7分

（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足,     ∵△ABC为锐角三角形 ∴点D在线段AC上

在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=……8分

①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点

P₁在线段AB上时，EP₁最小，最小值为－2 …………9分

② 当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，EP₁最大，最大值为2+5=7 .………………10分

2、

考点：	相似三角形的判定与性质；解一元二次方程-公式法；平行四边形的性质；矩形的性质；旋转的性质。
专题：	代数几何综合题。
分析：	（1）由旋转与相似的性质，即可得S△AB′C′：S△ABC=3，然后由△ABN与△B′MN中，∠B=∠B′，∠ANB=∠B′NM，可得∠BMB′=∠BAB′，即可求得直线BC与直线B′C′所夹的锐角的度数； （2）由四边形 ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90°，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC，即可求得θ的度数，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得n的值； （3）由四边形ABB′C′是平行四边形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根据相似三角形的对应边成比例，易得AB2=CB·BB′=CB（BC+CB′），继而求得答案．
解答：	解：（1）根据题意得：△ABC∽△AB′C′， ∴S△AB′C′：S△ABC=（）2=（）2=3，∠B=∠B′， ∵∠ANB=∠B′NM，∴∠BMB′=∠BAB′=60°；故答案为：3，60； （2）∵四边形 ABB′C′是矩形，∴∠BAC′=90°．∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=90°﹣30°=60°．在 Rt△ABC 中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，∴∠AB′B=30°， ∴n==2； （3）∵四边形ABB′C′是平行四边形∴AC′∥BB′，又∵∠BAC=36°，∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°．∴∠C′AB′=∠BAC=36°，而∠B=∠B，∴△ABC∽△B′BA， ∴AB：BB′=CB：AB，∴AB2=CB·BB′=CB（BC+CB′），而 CB′=AC=AB=B′C′，BC=1， ∴AB2=1（1+AB）， ∴AB=，∵AB＞0，∴n==．
点评：	此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、旋转的性质、矩形的性质以及平行四边形的性质．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．

3、【参考答案】解：（1）AP的最大值是：6；此时A'、B、C三点共线

（2）AP+BP+CP的最小值是：（或不化简为）

4、【参考答案】解：（1）150°                                   

(2) 如图，将△绕点顺时针旋转60°，使点D与点B重合，

得到△，连结. 则△是等边三角形，

可知， 

在四边形ABCD中，,

 

．        

        

．

5、【参考答案】图2中∠APB的度数为    135°  ．  （1）如图3，以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形是 △APM  ．（2）以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于  60°、65°、55° 

6、【参考答案】

7、【参考答案】解：（1）；（2）．

思路：连EG，易证EG=AC=4，△GCE为直角三角形，由勾股定理即得。

8、【参考答案】证明：（1）如图2，过点作，

         ∵平分，

 ∴． 

　　　   同理 ．

       ∴是四边形的准内点．

（2）

说明：①平行四边形对角线的交点（或者取平行四边形两对边中点连线

的交点）是准内点，如图3（1）和图3（2）；   

②梯形两腰夹角的平分线与梯形两腰中点连线的交点是准内点，如图4. –5

9、【参考答案】解：（1）画图如下：

图3

（2）图3中△FGH的面积为；思路：通过上图3，可知阴影部分为7个小等边三角形

10、【参考答案】证明：（1）取AC的中点G，连接NG、DG.

∴DG＝BC，DG∥BC；△NGC是等边三角形.   

∴NG = NC，DG = CM. ∵∠1 + ∠2 = 180o，

∴∠NGD + ∠2 = 240o.∵∠2 + ∠3 = 240o，

∴∠NGD =∠3.∴△NGD≌△NCM .

∴ND = NM ，∠GND =∠CNM. 

∴∠DNM =∠GNC = 60o.

∴△DMN是等边三角形. 

（2）连接QN、PM.

∴QN =CE= PM. Rt△CPE中，PM =EM，∴∠4= ∠5.

∵MN∥EF，∴∠5= ∠6，∠7= ∠8.∵NQ∥CE，∴∠7= ∠4.∴∠6=∠8.∴∠QND= ∠PMD.∴△QND≌△PMD. ∴DQ=DP.

11、【参考答案】(1) 如图所示，答案不唯一. 画出△D₁BC，△D₂BC，△D₃BC，△D₄BC，△D₅BC中的一个即可.（将BC的平行线l画在直线BC下方对称位置所画出的三角形亦可)

 

      (2)如图所示，答案不唯一. （在直线D₁D₂上取其他

符合要求的点，或将BC的平行线画在直线BC

下方对称位置所画出的三角形亦可)

      (3)如图所示(答案不唯一).

如上图所示的四边形ABDE的画法说明：(1)在线段BC上任取一点D（D不为BC的中点），连结AD；(2)画出线段AD的垂直平分线MN；(3)画出点C关于直线MN的对称点E，连结DE，AE. 则四边形ABDE即为所求.

12、【参考答案】(1)

 

（2）证明：在辅助图中，连接OI、NI．

 ∵ON是所作半圆的直径，  ∴∠OIN＝90°．

 ∵MI⊥ON，  ∴∠OMI＝∠IMN＝90°

且∠OIM＝∠INM．    ∴△OIM∽△INM．

 ∴＝ ．即IM ²＝OM·NM．    ∵OM=AB，MN=BC,∴IM ^{2  =} AB·BC,∵AF=IM,∴AF ²＝AB·BC=AB·AD．   ∵四边形ABCD是矩形，BE⊥AF，    ∴DC∥AB，∠ADF＝∠BEA＝90°．    ∴∠DFA＝∠EAB．∴△DFA∽△EAB．   ∴＝ ．即AF·BE＝AB·AD=AF ²．   ∴AF＝BE．∵AF=BH∴BH＝BE．    由操作方法知BE∥GH，BE＝GH．∴四边形EBHG是平行四边形．∵∠GEB＝90°，∴四边形EBHG是正方形．

13、【参考答案】①=②③=

⑵

    

DE∥AC交BC延长线于点E             E为AC三等分点

F为BE三等分点                      过E作FG∥BD交DC于点E，BC于G

则直线AF为所求                      则直线DG为所求

       

15、解：△BCE的面积等于   2  .   …………1分                    

   （1）如图（答案不唯一）：                                            ……2分

以EG、FH、ID的长度为三边长的

一个三角形是△EGM .     …………3分

（2） 以EG、FH、ID的长度为三边长的三角

形的面积等于  3    ．  …………5分

16、解：（1）.……………………………………………………………………2分

（2）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，

∴△ADC≌△AEC.∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA， DC＝EC.

∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°，∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°.

∴△CDE为等边三角形.∴DC＝DE.

在AE上截取AF＝AB，连接DF，[wom∴△ABD≌△AFD.∴BD＝DF.

在△ABD中，∠ADB=∠DAC＋∠DCA=45°，∴∠ADE=∠AED=75°，

∠ABD =105°.∴∠AFD =105°.∴∠DFE=75°.∴∠DFE=∠DEF.∴DF＝DE.

  ∴BD＝DC＝2.作BG⊥AD于点G，∴在Rt△BDG中， . ∴在Rt△ABG中，.

17、 解： 45°  …………………………………..1分

（1） ……………………………………2分

（2）

18、 解：(1)      .............................................(1分)

                          .............................................(2分)

（2）如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH=1，然后连接HM交AB于E，

接着在EB上截取EF=1，那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．

∴=GE+EF+FC+CG=6+3..

19、【解析】(1) 由题意知, θ为旋转角, n为位似比.由变换[60°,]和相似三角形的面积比等于相似比的平方,得: = 3, 直线BC与直线B′C′所夹的锐角为60°;

(2)由已知条件得θ＝∠CAC′＝∠BAC′－∠BAC＝60°.由直角三角形中, 30°锐角所对的直角边等于斜边的一半得n＝＝2.

(3) 由已知条件得θ＝∠CAC′＝∠ACB＝72°.再由两角对应相等,证得△ABC∽△B′BA,由相似三角形的性质求得n＝＝.

【答案】(1) 3;60°.

(2) ∵四边形ABB′C′是矩形,∴∠BAC′＝90°.∴θ＝∠CAC′＝∠BAC′－∠BAC＝90°－30°＝60°.

在Rt△ABB′中，∠ABB′＝90°, ∠BAB′＝60°,∴n＝＝2.

(3) ∵四边形ABB′C′是平行四边形,∴AC′∥BB′,又∵∠BAC＝36°∴θ＝∠CAC′＝∠ACB＝72°

∴∠C′AB′＝∠ABB′＝∠BAC＝36°,而∠B＝∠B, ∴△ABC∽△B′BA,∴AB²＝CB·B′B＝CB·(BC+CB′),

而CB′＝AC＝AB＝B′C′, BC＝1, ∴AB²＝1·(1+AB)∴AB＝,∵AB＞0,∴n＝＝.

【点评】本题是一道阅读理解题.命题者首先定义了一种变换,要求考生根据这种定义解决相关的问题. 读懂定义是解题的关键所在.

本题所涉及的知识点有相似三角形的面积比等于相似比的平方,黄金比等.

20、【解析】本题是信息给予题，题目中已经把相关概念进行阐述，按照给出的定义题就可以。（1）已知O(0,0)和利用定义可知

=；（2）由=，

则利用绝对值的几何意义可以求出点M（2,1）到直线的直角距离为3.

【答案】解：（1）有题意，得，

所有符合条件的点P组成的图形如图所示。

（2）∵

∴x可取一切实数，表示数轴上实数x所对应的点到数2和-1所对应的点的距离之和，其最小值为3.

∴M（2,1）到直线的直角距离为3.

【点评】本题主要考查学生的阅读理解能力和现学现用的及时应用能力。这是中考的发展的大趋势。

 22．类比学习：

有这样一个命题：设x、y、z都是小于1的正数，求证：x（1-y）+ y（1-z）+ z（1-x）＜1．

小明同学是这样证明的：如图，作边长为1的正三角形ABC，并分别在其边上截取AD=x，BE=z，CF=y，设△ADF、△CEF和△BDE的面积分别为、、，

则 ，，．

由++＜，

得++＜．

所以x（1-y）+ y（1-z）+ z（1-x）＜1．

类比实践：

已知正数、、、，、、、满足====．

求证：＋＋＋＜．

【参考答案】．证明：如图，作边长为的正方形ABCD．

  并分别在各边上截取： AE=，DH=,CG=,BF=,

 ∵ ，

 ∴ BE=，AH=,DG=，CF=.  ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90, ∴ ，，，．   ∵ , ∴ .

         ∴ ． 

24、已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？

数学模型

设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为．

探索研究

（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．

①填写下表，画出函数的图象：

x	……				1	2	3	4	……
y	……								……

②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；

③在求二次函数y = ax²＋bx＋c（a ≠ 0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到，请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．

解决问题

（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．

【参考答案】⑴

①，，，2，，，．

函数的图象如图．

②本题答案不唯一，下列解法供参考．当时，随增大而减小；

当时,随增大而增大；当时函数的最小

值为2．  

③===

当=0，即时，函数的最小值为2．

⑵当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为．