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· 对于e，我们似乎所知不多 在数学中，常数e一直是一个神奇的存在，似乎很常见，可我们对其又知道多少呢？ 在众多的数学书籍中都能找到描述常数e的语句，比如在维基百科中，是这样解释的： “The mathematical constant e is the base of the natural logarithm.” 这种解释看起来比较晦涩。从中文上看，大致是这么个意思：“数学常数e是自然对数的基础”。但，不幸的是，这里又引出了另一个概念“自然对数”。 照例，我们还可以从维基百科中得到解释： “The natural logarithm, formerly known as the hyperbolic logarithm, is the logarithm to the base e, where e is an irrational constant approximately equal to 2.718281828459.” 这个解释是说：“自然对数，以前称为双曲对数，是以e为底的对数，其中e是一个无理常数，大约等于2.718281828459。” 这让我们感觉到，冥冥之中，我们已经陷入到一个很好的循环引用之中。这种循环所带给我们的痛苦是：它很正确，但却没有帮助。回想我们在中学的课本上，也只是直接的告诉了学生们类似的结论，却同样无法跳出循环解释什么。 对此，我表示十分理解。对于绝大多数的数学定义来说，由于要苛求严谨，就不可避免的使得数学定义往往都枯燥而正式，都带有一种冷冰冰的高傲的气质。但这种气质，确实对一位初学者来说是十分不友好的。 今天，我就分享一些关于e的见解，让他显得更加平易近人。 · e不仅仅是一个数字 如果，仅仅简单的把e描述为“一个常数，大约为2.71828…”，这就好比，把Pi描述为“一个无理数，大约等于3.1415…”。当然，这确实没什么不对，但就像之前所说，这样的描述似乎可用之处也少得可怜。比起“他是多少”，我们更感兴趣的是“他怎么是的”。 这样简单的数值性描述，往往忽略了其背后所代表的客观意义，但正是这种实际的意义才是我们理解其本质的核心。 Pi是所有圆的圆周和直径之比。它是一个比值，是所有圆固有的基本比率。由于其与生俱来的属性，这个比率会影响诸如：圆、球体、圆柱体等等一系列图形的周长、面积、体积和表面积等相关的众多计算，以及从圆导出的三角函数sin，cos，tan。 与此相类似，e应该被怎么理解？ e是持续增长过程所具有的基本增长率。 有了它，我们就能很容易的得到各种连续复合增长的增长率。 简单的说，当系统以指数级连续增长时，如人口、放射性衰变、利息计算等等，就可以用e估算。 就好比，每个数字都可以视为1（基本单位）的缩放版本，每个圆也都可以视为单位圆（半径是1）的缩放版本，那么，同样的，每个增长率都可以被看作为，以e为单位增长的缩放版本。 所以，e不是一个晦涩模糊的，看似随机的数字。e代表了一种思想，即所有不断增长的系统都是以一个基本增长率的缩放版本。 · 指数增长 让我们从一个基本系统开始，这个系统在一段时间后会翻倍。例如： · 细菌可以每24小时加倍分裂 · 你选中了一支回报率100%的理财产品，你的钱每年翻倍 这些变化看起来大致应该像这样：  上述的例子中，1变为2，2变为4，以此类推，可称作裂变。在数学上可以这么描述，当初始值进行了x次分裂，那么，就相当于将初始值增加了倍。例如：分裂1次，就得到倍；分裂4次，就得到倍。 由此得到其一般增长公式为： 换句话说，成倍增长可以表示为100%的增长。那么，增长公式就可以重新写成： 我们可以看到，原公式中的2被写成了1 100%。 当然，我们可以用新的回报率（50%，25%，200%）来代替现有的100%，这就得到了，在x个回报期，回报率为return，一般增长公式为： · 进一步思考 上面我们所举的例子，都是假设增长是分阶段进行的。也就是说，细菌在等待，等待，然后爆炸，他们在最后一刻增加了一倍；利息收入神奇地出现在1年到期时。因此我们把上述的增长看作时断时续的，结果是瞬间发生的，这样就导致了上图中绿点突然出现了，这就是一种离散系统。 显然，真实的世界并不总是这样。如果把图放大，我们会发现细菌是随着时间的推移而不断的分裂：  绿点细菌开始是不存在的，之后它渐渐的从蓝点细菌中生长出来。经过一个单位时间后，一个完整的绿点细菌被生长出来。 这显然是一个连续系统过程，但我们只是在离散的观察结果。但这样会改变我们的方程式吗？ 当然不。在细菌的例子中，半形成的绿色细菌在完全生长并与蓝色细菌分离之前，是毫无意义的。这个等式仍然成立。 · 金钱改变一切 那么有没有对连续系统的连续观测结果呢？ 我们可以考虑存钱理财的例子。一旦我们开始赚取利息，那么钱就在不断的自我复制，源源不断的产生利息。不需要像之前的细菌那样等到成熟时刻。 根据我们的旧公式，利息增长如下：  但同样，上图有一点并不完全正确：所有的利息都出现在最后一天。 让我们放大一点，把这一年分成两部分。我们每年赚100%的利息，或者每6个月赚50%的利息。所以，我们前6个月赚50美分，下半年再赚50美分：  但这仍然不够细致！当然，我们原来的美元（蓝点）一年下来赚一美元。但6个月后，我们有了一个50美分的硬币，此时我们千万不要忽略了，那50美分可以自己挣钱：  因为我们的利率是每半年50%，那50美分本可以赚25美分（50%乘以50美分）。一年后我们就可以总共给我们2.25美元。我们从最初的1美元中获利1.25美元，甚至比翻倍还要好！ 回报增长公式就可以写成另外的样子。在两个半期中，均为50%的增长率，则： · 连续复合增长 同样的，把它分成3个增长33%的周期。将我们3个复合周期的增长率绘制成一幅有趣的图画：  12个月后的最终值为：1 1 0.33 0.04，约为2.37。 我们赚了1.37美元，比上次的1.25美元又好了！ · 我们能得到无限的钱吗？ 为什么不用更短的时间？每个月，每一天，每小时，甚至每纳秒呢？我们的回报会飞涨吗？ 如果尝试在我们的增长公式中使用不同的n，由此得到的总回报，是会随着n的增大而增大，但似乎又不是无限大下去，而这种趋势会渐渐的慢下来。  数字会在2.718左右收敛。 等等，这看起来像不像常数e的值！ 这时，让我们引入极限的概念，再来看看这个公式。e被定义为极限增长率，继续保持100%的复合回报率，那么在越来越细分的周期内： 这个极限是收敛的，其值保持在2.718左右。 · 但这一切意味着什么？ 数字e（2.718…）是一个时间段内复合100%增长的最大可能结果。当然，你一开始希望从1增长到2（这是100%的增长，对吧？）。但随着每一个微小的进步，你创造了一个小的红利，开始自己增长。当一切都发生了，你最终在1个时间段的末尾得到的是e（2.718…），而不是2。e是最大值，当我们尽可能多的复合时会发生的极限。 所以，如果我们从1美元开始，以100%回报率连续复合，我们得到1e。如果我们从2美元开始，我们得到2e。如果我们从11.79美元开始，我们得到11.79e。 e就像一个速度限制（比如c，光速），它表示使用一个连续的过程，你可以增长多快。你可能不会总是达到速度极限，但这是一个参考点：你可以用这个普遍常数来得到其他的增长率。 值得注意的是，需要将增长与最终结果分开。1成为e（2.718…）意味着增长（增长率）为171.8%。就其本身而言，e是在考虑所有细分的增长后，得到的最终结果（原始值 增加值）。  · 不同的增长率呢？ 如果我们以每年50%而不是100%的速度增长呢？我们还能用e吗？ 让我们看看。50%的复合增长率如下所示： 50%是总回报，n是细分后的周期数。如果我们选择n=50，也就是把增长分成50个1%利息的周期： 我们怎样能知道这个式子的值呢？ 就可以利用之前已经得到的极限公式。假设把100%的固定利率分成100个1%的部分： 我们通过简单的对比，就可以发现： 这很有趣。 50/100=0.5，这是我们将e提升到的指数。一般来说，这似乎是有规律的：如果我们有300%的增长率，我们可以把它分成300个1%增长率的周期，最终的增长极限应该是。 尽管增长看起来像加法（ 1%），但我们需要记住，它实际上是一个乘法（*1.01）。这就是为什么我们使用指数（重复乘法）和平方根（表示变化的“一半”，即乘法次数的一半）。 虽然我们选择了1%，但我们可以选择任何一个小的增长单位（0.1%，0.0001%，甚至是无限小的数量！）。关键是，对于我们选择的任何增长率，它只是e的一个新指数： · 不同的时间周期呢？ 假设我们2年内增长300%。我们可以将一年的增长率（）乘以他自己： 一般地： · e到底怎么自然了？ 首先，我们需要知道e这个表示自然底数的符号是由瑞士数学和物理学家Leonhard Euler(莱昂纳德·欧拉)命名的，取的正是Euler的首字母“e”。 但实际上，第一个发现这个常数的，并非欧拉本人，而是雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli）。 伯努利家族是17～18世纪瑞士的一个赫赫有名的家族，其中出了很多著名的数理科学家，雅可比·伯努利是约翰·伯努利（Johann Bernoulli）的哥哥，而约翰·伯努利则是欧拉的数学老师。总之，大佬们之间有着千丝万缕的联系。 而他们发现常数e的方法，就是使用了我们之前所讲述的“复利模型”。 虽然正常的银行不会推出连续复利这种优惠政策，但在自然界中，大多数事物都处在一种“无意识的连续增长”状态中。对于一个连续增长的事物，如果单位时间的增长率为100%，那么经过一个单位时间后，其将变成原来的e倍。而生物的生长与繁殖过程，恰恰也类似于“利滚利”的过程。 有一种叫等角螺线，如果用极坐标可表示为： 这正是一个以自然常数e为底的指数函数。  在自然界中，就确实存在许多对应的实例。 例如，鹦鹉螺外壳切面就呈现优美的等角螺线：  温带低气压的外观也像等角螺线：  就连旋涡星系的旋臂都像等角螺线： 或许，这些就是常数e被称为自然常数的原因之一吧。
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