√关于：
①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；
②线性无关；
③；
④；
⑤任意一个维向量都可以用线性表示.
√行列式的计算：
①若都是方阵（不必同阶）则
②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积③关于副对角线：①
②
③
④
⑤
√方阵的幂的性质：
√设，对阶矩阵规定：为的一个多项式设的列向量为的列向量为，的列向量为
√用对角矩阵左乘一个矩阵相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；
用对角矩阵右乘一个矩阵相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘与分块对角阵相乘类似即：
矩阵方程的解法：设法化成
当时
√和同解（列向量个数相同）则：①它们的极大无关组相对应从而秩相等
②它们对应的部分组有一样的线性相关性
③它们有相同的内在线性关系判断是的基础解系的条件：
①线性无关；
②是的解；
③零向量是任何向量的线性组合零向量与任何同维实向量正交单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关部分相关整体必相关；整体无关部分必无关原向量组无关接长向量组无关；接长向量组相关原向量组相关两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关向量组中任一向量≤都是此向量组的线性组合向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由个线性表示向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个线性表示维列向量组线性相关；
维列向量组线性无关.
.
若线性无关，而线性相关则可由线性表示且表示法一矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩且不改变列向量间的线性关系
矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩且不改变行向量间的线性关系
向量组等价和可以相互线性表示记作：
矩阵等价经过有限次初等变换化为记作：
矩阵与等价作为向量组等价即：秩相等的向量组不一定等价
矩阵与作为向量组等价矩阵与等价向量组可由向量组线性表示.
向量组可由向量组线性表示且，则线性相关
向量组线性无关且可由线性表示则.
向量组可由向量组线性表示且则两向量组等价
任一向量组和它的极大无关组等价
向量组的任意两个极大无关组等价且这两个组所含向量的个数相等
若两个线性无关的向量组等价则它们包含的向量个数相等
若是矩阵则若，的行向量线性无关；
若，的列向量线性无关即：
线性无关线性方程组的矩阵式向量式
矩阵转置的性质： 矩阵可逆的性质： 伴随矩阵的性质： 线性方程组解的性质：
设为矩阵若则从而一定有解当时一定不是唯一解,则该向量组线性相关是的上限矩阵的秩的性质：
①
②
③≤
④
⑤
⑥≥
⑦≤
⑧
⑨
⑩且在矩阵乘法中有左消去律:
标准正交基个维线性无关的向量两两正交每个向量长度为1.
是单位向量内积的性质①正定性：
②对称性：
③双线性：
施密特线性无关
单位化：
正交矩阵是正交矩阵的充要条件：的个行（列）向量构成的一组标准正交基正交矩阵的性质①；
②；
③是正交阵则（或）也是正交阵
④两个正交阵之积仍是正交阵
⑤正交阵的行列式等于1或-1的特征矩阵的特征多项式的特征方程
√上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素若则为的的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.
√
√若,则一定可分解为=、,从而的特征值为：,.
√若的全部特征值，是多项式,则:
①的全部特征值为；
②当可逆时,的全部特征值为,
的全部特征值为.
√
√
与相似（为可逆阵）记为：
√相似于对角阵的充要条件：恰有个线性无关的特征向量.这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.
√可对角化的充要条件：为的重数.
√若阶矩阵有个互异的特征值,则与对角阵相似.
与正交相似（为正交矩阵）
√相似矩阵的性质：①若均可逆
②
③（为整数）
④,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:是关于的特征向量,是关于的特征向量.
⑤从而同时可逆或不可逆
⑥
⑦
√数量矩阵只与自己相似.
√对称矩阵的性质：
①特征值全是实数,特征向量是实向量；
②与对角矩阵合同；
③不同特征值的特征向量必定正交；
④重特征值必定有个线性无关的特征向量；
⑤必可用正交矩阵相似对角化（一定有个线性无关的特征向量,可能有重的特征值,重数=）.
可以相似对角化与对角阵相似.记为：（称是的相似标准型）
√若为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）.
√设为对应于的线性无关的特征向量,则有：
.
√若,,则：.
√若,则,.
二次型为对称矩阵
与合同.记作：（）
√两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.
√两个矩阵合同的必要条件是：
√经过化为标准型.
√二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由惟一确定的.
√当标准型中的系数为1，-1或0时,则为规范形.
√实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.
√任一实对称矩阵与惟一对角阵合同.
√用正交变换法化二次型为标准形:
求出的特征值、特征向量；
对个特征向量单位化、正交化；
构造（正交矩阵）,；
作变换,新的二次型为,的主对角上的元素即为的特征值.
正定二次型不全为零，.
正定矩阵正定二次型对应的矩阵.
√合同变换不改变二次型的正定性.
√成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：
正惯性指数为；
的特征值全大于；
的所有顺序主子式全大于；
合同于，即存在可逆矩阵使；
存在可逆矩阵，使（从而）；
存在正交矩阵，使（大于）.
√成为正定矩阵的必要条件：；.
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