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一、构建图形直角坐标变量数学描述形式的一般步骤 步骤1：根据实际意义，绘制草图，构建合适的空间直角坐标系。 【注1】当然根据问题的描述的方便，也可以是其他坐标系，比如三重积分中讨论的柱坐标系、球坐标系等. 【注2】如果问题本身带有坐标信息，则绘制确定的坐标系，并根据坐标特征绘制草图. 步骤2：在图形上，或者空间任取一符合问题背景或相关几何意义的点，并设其坐标为M(x,y,z). 步骤3：依据问题提供的条件，比如物理意义、几何意义、已有等式等，构建与点M相关的等式. 并转化为点M的坐标变量x,y,z的等式；或者通过适当引入参数，将点M的坐标变量x,y,z描述为有关参数的表达式，如果是平面图形或曲线图形，则一个参数；如果是曲面图形，一般为两个参数. 步骤4：化简相关等式，得到图形的方程描述形式. 【注】这里考虑的图形为曲面、曲线，数学描述形式对于曲面一般为一个三元方程，或者三个坐标变量关于两个参数的表达式(参数方程)；对于曲线一般为两个三元方程，或者由一个参变量描述的三个坐标变量表达式(参数方程). 二、空间曲面及其方程相关的问题 1、已知一曲面作为点的几何轨迹时，求曲面的方程；如球面方程、旋转曲面方程的构建. 2、已知方程，研究它所表示的几何形状；如已知两个变量的方程，其描述图形为柱面. 三、旋转曲面、柱面的一般定义 旋转曲面：一条曲线绕一定直线旋转所得的图形. 转动的曲线为母线，定直线为旋转轴. 母线不唯一. 柱面：平行定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹称为柱面. 定曲线称为准线，直线称为母线. 准线与母线不唯一. 四、特殊的旋转曲面、柱面与球面方程 1、坐标面上的曲线绕坐标轴旋转所得旋转曲面方程可以由坐标面上描述曲线的方程直接改写得到：旋转轴所对应的坐标变量不变，另一变量用其余两个变量的正负根号下的平方和替换. 比如： 这样形成的曲面的方程的特征是：方程可以描述为一个变量与另外两个变量的平方和表达式的结构，即具有这样结构的方程也就表示旋转曲面，并且旋转轴为单个变量所对应的坐标轴. 比如 所以它所表述的图形可以看成是由yOz面上的曲线 绕z轴旋转一周；或者由zOx面上的曲线 绕z轴旋转一周形成的曲面. 2．以平行于坐标轴的直线为母线的柱面方程为由两个变量描述的方程，即在空间直角坐标系中，由两个变量描述的方程都表示母线平行于其不包含的变量对应的坐标轴的柱面. 平面是一类特殊的柱面. 3．球面方程特征： 右边项大于0，则方程描述了一个球面. 参考课件节选：
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