概要讲师介绍陈为蓬 清华大学人文学院 副教授 课程内容
第1讲 什么是逻辑学?1.1 “逻辑和逻辑学什么是逻辑? “逻辑”一词的多种用法:
上面的逻辑与逻辑学中的逻辑相差甚远,上面更多的是客观规律,行为方式。 “逻辑”一词的另多种用法:
上面的逻辑与逻辑学中的逻辑比较接近,但仍然不是逻辑学中研究对象。 逻辑(logic)一词的语源
“逻辑”一词的不同含义:
逻辑学:以推理形式为主要研究对象的学科(要与日常中逻辑区分开来) 1.2 推理和推理形式推理:从已知条件(前提)得出结论的过程 例如,侦破案件步骤:
侦破案件是一个推理过程 又例如,法庭审案根据案卷(关于案件的材料、已知条件),作出判罚,这也是推理过程。 又例如,数学上证明定理:用公理、定理推出新定理,这也是推理过程。 我们日常生活中,不经意都会推理(例如,父母回到家,摸电视背后,感觉有没有发烫,判断小孩在自己进门前是否在观看电视) 推理形式:推理的结构 同类的不同具体推理具有共同的结构,即推理形式。
1.3 有效推理形式
有效推理形式
逻辑:研究推理、推理形式 1.4 逻辑学的特点
所有的科学在某种意义上都是某一方面的抽象 数理逻辑的公理系统中:符号只是符号本身,具有非常高的抽象性(也就是具有广泛应用性) 逻辑是一门高度抽象的学科,应用范围广。 欧姆定理 U = IR,通过实验得出。之后可用数学求出,可不再用实验求其中某一值。 数学是物理学和很多学科的工具。逻辑学也一样。
显然它们是正确,但“显然”不靠谱。在逻辑学上,若两对象关系是对称的,则位置可互换,否则,不行。
显然这是正确。在逻辑学上,等于号=具有传递的关系 1.5 逻辑学的基本准则逻辑学研究对象范围很小:推理以及与推理有关的问题。 逻辑学的基本准则:
矛盾论:A和A的否定不能同时成立,但是日常生活中,常常描述某事物同时是好是坏,如这事物指下雪。 正确的解读:
A与A1是不同的 同一律,(不)矛盾论普遍适用 而排中律的适用范围是没有中间状态的,而二者互补的 例子:
日常生活中,符不符合逻辑,往往就逻辑学的基本准则几方面而言的。 1.6 逻辑学和其他学科的关系逻辑学与以下学科的关系密切
逻辑学最早是作为哲学的一部分存在的。 哲学,狭义理解,主要解决世界本原问题,物质的,还是精神的,是主观的,还是客观的。 本体论和认识论是哲学的核心。 广义理解,包括逻辑学,伦理学,美学 数理逻辑:用数学的方法、数学的语言、数学的工具研究推理。数理逻辑的成果为数学基础的研究服务。 语言是逻辑的外壳 语文老师会认为“整个大楼片漆黑,只有那个窗户灯火通明。”是不对的,因为这两个子句互为矛盾 同样,“中国有着世界上任何国家都没有的万里长城”也是不对的。 计算机科学 离散数学 最早的逻辑系统:二值,是与不是 推理:演绎和归纳
计算机为未做到归纳,但能做到演绎 归纳逻辑它的一个任务是要把我们所做的具体的归纳,要给出归纳的有效推理形式。 1.7 关于本课程《逻辑学概论》传统逻辑还是数理逻辑?
课程内容:数理逻辑的基础部分和传统逻辑的常用部分。 数理逻辑:不涉及任何一门高等数学的具体内容。 通过具体的推理了解:逻辑的精神、逻辑的方法、逻辑的思路。 第2讲 逻辑学的产生与发展2.1 中国古代逻辑思想(上)逻辑学的产生和发展 了解逻辑学的思路、精神、方法 世界三大逻辑传统:
中国先秦时代的逻辑思想:春秋战国,百家争鸣 中国古代逻辑思想不像希腊那样单纯研究推理,而是渗透在,贯穿在对于其他许多问题的研究与论述当中。 孔子为主要代表
白马非马
例如日常语言的“是”有多种含义(“白马非马”的例子),需要更精准语言进行描述 2.2 中国古代逻辑思想(中)
2.3 中国古代逻辑思想(下)类比(濠梁之辩),递推(孔子的正名)作为推理手段 墨家 前期墨家:墨家创始人墨翟(墨子,约公元前476-前390)本人在世时所组成的学派。 后期墨家:墨翟去世后由其弟子所组成的学派。 《墨子》:《墨经》(《墨辩》) 《墨经》:经上、经下、经说上、经说下、大取、小取。 知识的来源:亲知(我直接感受到的),闻知(别人告诉我的),说知(这的“说”是指推理)。 知识的内容:名知(如知道梧桐树的名字),实知(如知道梧桐树的具体事物),合知(如知道梧桐树的名字和它具体事物),为知(实践,如怎么保护它)。 提出比较完整的逻辑体系,但不是逻辑学的名著。
为什么逻辑学主要在先秦时期发展?百家争鸣 后秦时期主要以儒家思想为主(怎么修身齐家治国平天下,也就是社会科学和人文科学方面比较看重),逻辑学没有太大的成就。 2.4 印度古代逻辑古代论辩术(公元前5世纪一前3世纪) 正理论 因明 佛教逻辑:因明
佛教有五明:
因明的三支论式
古五支论式:宗、因、喻、合、结 因明的东传
2.5 古希腊和中世纪逻辑代表:苏格拉底、帕拉图、亚里士多德 亚里士多德 Aristoteles(公元前384-前322 ) 古希腊逻辑集大成者,逻辑学之父 《工具论》:范畴篇、解释篇、前分析篇、后分析篇、论辩篇、辨谬篇 三段论理论等 三段论 如:所有的金属是导体,铜是金属 -> 铜是导体 麦加拉——斯多阿学派逻辑:构造了命题逻辑系统、构造公理系统 命题逻辑:如果铜是金属,那么铜是导体 继承发展古希腊和阿拉伯的逻辑思想,建立经院逻辑体系 2.6 近代西方逻辑归纳逻辑 培根 Francis Bacon ( 1561-1626 ) : 《新工具》:发现(归纳),思想(演绎),记忆,传递(授) 归纳方法:三表法一一出现表(具有表),不出现表(缺乏表),程度表(比较表) 三段论:所有人固有一死,苏格拉底是人,所以苏格拉底会死。 有效推理形式:只要前提对,结论就一定对 他认为三段论是演绎(从一般到个别),不能从中得到新东西,但归纳可以。 你怎么知道所有人固有一死,但你得知苏格拉底、柏拉图等人都死了,可推出人固有一死,这个过程称为归纳。 密尔(穆勒) John Stuart Mill ( 1806-1873 ) : 求因果五法 辩证逻辑 康德 I. Kant ( 1724- - 1804 ) 《纯粹理性批判》 先验逻辑 黑格尔G.W.F.Hegel ( 1770-1831 ) 《逻辑学》 思想范畴的辩证发展 2.7 数理逻辑的提出和实现莱布尼茨Leibniz ( 1646-1716 ) : 《论组合术》
数理逻辑:数学逻辑 mathematical logic(不是数学与物理) 布尔G.Boole ( 1815-1864 ) : 《逻辑的数学分析》、《思维规律的研究》 创立逻辑代数,实现逻辑演算(命题演算) 布尔代数无法解决三段论(布尔代数不含量词(全部,有些))部分实现逻辑的演算。 德.摩根 De Morgan ( 1806-1871):
关系逻辑:
两个东西的关系,用自然语言是说得清的,但两类东西之间的关系,加上量词的话,就可能会说不清楚。 比如锅比盆大,是所有锅比所有盆大,还是有些锅比所有盆大,还是... 再比如,盆大小在碗和盆的之间,是所有...好累(我笑了) 弗雷格 G.Frege ( 1848-1925 ) :《概念文字》 引入量词,实现谓词演算 罗素B.Russell ( 1872- -1970) :
2.8 数理逻辑的发展
希尔伯特Hilbert ( 1862-1943 )、哥德尔Godel ( 1906-1978 )、图灵Turing ( 1912-1954 )、塔尔斯基Tarski ( 1902-1983 )等人的贡献 逻辑演算:命题演算,谓词演算 两个演算 四论:证明论、集合论、递归论、模型论 数理逻辑内容:两个演算,四论 非经典逻辑(非标准逻辑)的出现: 经典逻辑(标准逻辑):以罗素、怀特海《数学原理》为代表 非经典逻辑(非标准逻辑):多值逻辑(不止有真假值),模糊逻辑,模态逻辑(一定,不一定),广义模态逻辑(有时,永远),弗协调逻辑(例外,动摇经典逻辑,可另建其他系统) 经典逻辑的系统是非经典逻辑系统的子系统。 第3讲 命题联结词及其基本推理形式3.1 推理和命题推理:从前提(已知条件)得出结论的过程。 推理的前提和结论都是命题。 命题:对事物及其情况(性质、关系)的陈述。
命题的真值:命题的真假情况。 每一个命题都有真值,这是命题的基本性质 命题是一种陈述,命题是一种句子。句子不一定是命题。命题一定是用句子的形式表达。 命题:今天这里下雨。命题一定是说,什么东西,怎么样。 一个句子,只要客观上有真假,那么这就是一个命题。(命题如:火星上有生物) 有效推理形式:真前提通过有效推理形式只能得到真结论。 即:通过有效推理形式,真前提不会得到假结论。 3.2 基本命题和复合命题基本命题:本身不再包含其他命题的命题。 复合命题:由一个或多个基本命题加上命题联结词所构成的命题。 基本命题:
复合命题:
基本命题和复合命题其真值的确定:
互相否定的两个命题是不能同时成立的。(矛盾律) 复合命题的真值判定的例子: 今天下雨。假 今天刮大风。真 今天下雨,并且今天刮大风。假 逻辑不能确定基本命题的真假。 逻辑参与确定复合命题的真假。 对于某些有特定结构的复合命题,逻辑可以独立地确定它的真和假。 逻辑学研究的不是具体的命题,而是同类的具体俞题所共同具有的命题形式,即命题结构。 命题形式用一定的符号表示。如:以特定符号表示不同的命题连接词,而以p表示基本命题。(命题:proposition ) 3.3 常用命题联结词及其基本推理形式(1)这里将给出各命题联结词的名称、符号、真值表、基本推理形式。 真值表:显示命题形式在各种可能情况下的真值。 在真值表中,通常以P1 ,P2, P3, .. 或p,q,r,..表示基本命题,以T表示真(true) ,以F表示假(false)。 常用命题联结词: (1)否定:¬ 真值表:
基本推理形式:双重否定式¬(¬p) -> p 自然语言的否定往往带有其他感情色彩,而逻辑学的否定是纯粹的,所以,它们不完全对等。 如:我们不得不学习英语。 3.4 常用命题联结词及其基本推理形式(2)(2)合取:∧
自然语言中的“而且”有递进的意思。我毕了业,而且考上研究生。若换成,我考上研究生,而且毕了业。 虽然...但是...也是类似道理,逻辑学的合取意思纯粹。 基本推理形式:
p:他数学成绩不错,q:他英语成绩也不错。p∧q:他的数学和英语不错
p∧q -> p, p∧q -> q
p∧q <-> q∧p 合取的推广
3.5 常用命题联结词及其基本推理形式(3)(3)析取 ∨
基本推理形式:
例如,李四和张三同为嫌疑犯,后确定不是李四干的,所以张三是法外狂徒。 析取的推广
3.6 常用命题联结词及其基本推理形式(4)(4)不相容析取:∀
基本推理形式:
(p∀q) 与 (p∨q)∧(¬(p∧q))真值相同。
3.7 常用命题联结词及其基本推理形式(5)(5)蕴涵:➝
蕴涵相当于充分条件,但不等于 例如,如果2+2=4,那么雪是白的。(在自然语言中它们没有内在联系,通常是不允许的。而在逻辑学上可以) “蕴涵怪论”:
看起来很怪 举个例子:
基本推理形式:
3.8 常用命题联结词及其基本推理形式(6)(6)反蕴涵 ⟵
反蕴涵在汉语里面常用的说法比较少,典型的只有一个:只有...才...,表示相当于必要条件。 在汉语中,命题连接词是没有出现,而且有的看起来是相同的情况,但它所对应的这个命题连接词有时候不一样的,比如:
基本推理形式:
(p⟵q)与(q➝p)真值相同。 3.9 常用命题联结词及其基本推理形式(7)(7)等值:⟷
等值的在日常的说法为当且仅当,它相当于充分必要条件(注意,它们不完全一样,用可以是一样) 基本推理形式:
p⟷q
(p⟷q)与((p➝q)∧(q➝p))真值相同 常用命题连接词的真值表
∀, ⟵,⟷ 可被∧, ∨, ¬q取代 与上表可以精简成为:
第4讲 复合命题的推理:有效推理形式的判定4.1 重言式、矛盾式和可满足式根据可能的真值情况,命题形式可分为:
重言式(tautology)(永真式)(同义反复)在任何情况下,其真值永远为真。如:p∨(¬q),p➝p 今天下雨或今天不下雨。 可用真值表判定。
矛盾式(contradiction)(永假式)在任何情况下,其真值永远为假。
可满足式(satisfaction)在某些情况下,其真值为真,而在某些情况下,其真值为假。
任何孤立的命题都是可满足式。 4.2 具体推理转换为推理形式并非今天不是节日 -> 今天是节日 ¬(¬p) -> p 复合命题推理
具体推理转换为推理形式: 用逻辑符号(命题变元即基本命题符号、命题联结词符号及括号)把自然语言推理中的前提和结论写成命题形式,从而形成推理形式。 4.3 推理形式转换为复合命题形式(前提)¬(¬p) -> (结论)p
推理形式转换为命题形式:用蕴涵、合取符号及括号把推理形式转换为复合命题形式。 4.4 有效推理形式的判定:真值表法有效推理形式所对应的复合命题形式当且仅当是重言式。 因此,对一个复合命题推理形式是否有效的判定,转化为对一个复合命题形式是否为重言式的判定。 推理形式:¬(¬p) -> p,复合命题形式:¬(¬p) ➝ p,用真值表进行判定推理形式有效性。
再比如 推理形式:p➝q, ¬q -> ¬p,复合命题形式:((p➝q)∧(¬q))➝(¬p) ((p➝q)∧(¬q))➝(¬p)的真值表:
最后一列全T,所以它是有效推理形式 再比如 推理形式:p➝q, ¬p -> ¬q,复合命题形式:((p➝q)∧(¬p))➝(¬q)
最后一列有一F(反例),所以它不是有效推理形式 真值表法:
有效推理形式所对应的复合命题形式当且仅当是重言式。 判定重言式的真值表法是能行的方法,即:用机械的方法,在有限的步骤内,一定可以得到结果。 4.5 有效推理形式的判定:归谬赋值法如果初始命题变元个数过多,会造成真值表行数过多。譬如,有10个初始命题变元,则真值表有2^10=1024行。于是,尝试寻找更简便判定方法。 反证 例如,((p➝q)∧(¬p))➝(¬q) 为 F(假设((p➝q)∧(¬p))➝(¬q)不是重言式) 则(p➝q)∧(¬p)为T,¬q为F 则(p➝q)为T,(¬p)为T,q为T 则p为F,q为T, 符合(p➝q)为T 故((p➝q)∧(¬p))➝(¬q)不是有效的推理形式。 例如,((p➝q)∧(¬q))➝(¬p) 为 F(假设((p➝q)∧(¬q))➝(¬p)不是重言式) 则(p➝q)∧(¬q)为T,¬p为F 则a. (p➝q)为T,b. q为F, p为T 若b. q为F, p为T,则(p➝q)为F,与a. (p➝q)为T矛盾 所以((p➝q)∧(¬q))➝(¬p)不能不是重言式 归谬赋值法:
例如,((p➝q)∧(q➝r)∧(r➝s))➝((¬s)➝(¬p))为F(假设((p➝q)∧(q➝r)∧(r➝s))➝((¬s)➝(¬p))不是重言式) (日常例子(小孩一考试就紧张,一紧张就考砸,一考砸就被双亲混合双打 -> 小孩没挨打,最近没考试)) 则(p➝q)∧(q➝r)∧(r➝s)为T,(¬s)➝(¬p)为F 则p➝q为T,q➝r为T,a. r➝s为T,b. s为F,p为T 则q为T,r为T,s为T,与b互相矛盾 故((p➝q)∧(q➝r)∧(r➝s))➝((¬s)➝(¬p))是重言式(有效推理形式) 归谬赋值法的局限 例如,(p∨q)➝(p∧q)为F(假设(p∨q)➝(p∧q)不是重言式) 则p∨q为T(有三种情况),p∧q为F(有三种情况) 假设p为T,q为F 假设p为F,q为T 解决:用回真值表法 小技巧:变元数量较少,用真值表法;变元数量较多,用归谬赋值法。 有效推理形式的判定:
从归谬赋值法看逻辑学的基本准则(同一律,矛盾律,排中律)(逻辑学中不言而喻,显然的基本准则): 假设p➝p为F 则前p为T,后p为F,这违反同一律,矛盾律。 证明它不能不是重言式,也就是它是重言式,也就是排中律天线(非重言式和重言式没有中间状态度) 第5讲 复合命题的推理:命题联结词的充足集5.1 命题联结词:真值函数函数是一种映射 每个命题联结词相当于从真值集合{T,F}到自身{T,F}的一个函数,称为真值函数。
运用真值表,可以确定任一复合命题形式所对应的真值函数(即,可知在命题变元的各种真值组合下该真值函数的值)。 与此相对,如何为确定的真值函数找出相对应的命题形式?(下一节有解答) 命题联结词¬、∨、∧分别与同数字电路中的非门,或门,与门对应。 5.2 析取范式一场比赛上,三个裁判有两个及以上通过,才算真正的通过
真正通过的情况:(P1∧P2∧P3) ∨ (P1∧P2∧(¬P3)) ∨ (P1∧(¬P2)∧P3) ∨ ((¬P1)∧P2∧P3) 基本合取式: n个(n=1, 2, 3, ...)命题变元或其否定用合取(∧)联结而成的命题形式; 析取范式: n个(n=1,2,3,..)有相同命题变元的基本合取式用析取(∨)联接而成的命题形式。 对应于某个真值函数的析取范式的作法:
如何为确定的真值函数找出相对应的命题形式?(回答上一节问题) 运用真值表,列出相应的范式。 范式(normal form):满足某种规范、能显示某种逻辑性质的命题形式。 5.3 为复合命题形式作与之等值的析取范式除了个别特殊情况,对于复合命题形式,都可以作出与之等值的析取范式。 p⟷q 与 (p∧q)∨((¬p)∧(¬q)) 等值,用真值表验证。
例如,¬(p➝q)与p∧(¬q)(p∧(¬q)也是析取范式)
例如,¬(((p➝q)∧p)➝q)
除矛盾式以外,对于复合命题形式,都可以作出与之等值的析取范式。 为什么矛盾式不行?请回顾对应于某个真值函数的析取范式的作法:
由于矛盾式总是假,于是在上述的第2步该真值函数为真的命题变元为0,所以矛盾式不能作出析取范式。 5.4 合取范式基本析取式:n个( n=1,2,3,...)命题变元或其否定用析取(∨)联结而成的命题形式; 合取范式:n个(n=1, 2, 3,...)有相同命题变元的基本析取式用合取(∧)联接而成的命题形式。 对应于某个真值函数的合取范式的作法:
得出p⟷q的合取范式
反复运用德摩根律和双重否定律加以整理 德摩根律:
双重否定:
然后用真值表进行验证:
除重言式以外,对于复合命题形式,都可以作出与之等值的合取范式。 为什么重言式不能作出合取范式?回顾对应于某个真值函数的合取范式的作法:
重言式加以否定成矛盾式,再回顾对应于某个真值函数的析取范式的作法:
由于矛盾式总是假,于是在上述的第2步该真值函数为真的命题变元为0,所以矛盾式不能作出析取范式。 所以重言式不能作出合取范式。 5.5 范式存在定理范式(normal form):满足某种规范、能显示某种逻辑性质的命题形式。
与p⟷q等值的
由范式作法可知:
范式存在定理:
5.6 命题联结词的充足集存在多少个不同的n元真值函数(命题联结词)? 答:2^(2^n)个 例如有两个命题变元:
命题联结词的充足(adequate)集:若干个命题联结词的集合,用这些命题联结词(同命题变元一起)经过有限次的重复和组合,可表示任意的真值函数。 根据范式存在定理,{¬, ∧, ∨}是命题联结词的充足集。 更进一步精简
因此,{¬, ∧}和{¬, ∨}也是命题连接词充足集。 再如,
因此,{¬, ➝}也是命题连接词充足集。 小结 {¬, ∧, ∨}是命题联结词的充足集 {¬, ∧}, {¬, ∨}, {¬, ➝}也分别是命题连接词充足集 5.7 命题联结词的独元充足集一进制理论上可行,但它不实用,不能表示0 或非(nor) ↓ 真值表:
已证{¬, ∧, ∨}是命题联结词的充足集
因此,{↓}是命题联结词的充足集。这是很奇妙的结果。 与非与或非也能独当一面 与非(nand) | 真值表:
真值表检验过程略 已证{¬, ∧, ∨}是命题联结词的充足集
因此,{|}是命题联结词的充足集。这是很奇妙的结果。 ↓和|称为谢弗尔竖( Sheffer stroke或Shefferbar)。 {↓}和{|}是命题联结词的单元素(独元)充足集。(这是一个非常奇妙的结果) ↓,|对应于数字电路中的或非门,与非门。 第6讲 命题演算:公理系统6.1 公理系统的构成判定有效推理形式的方法:真值表法、归谬赋值法。 生成有效推理形式的方法:公理系统、自然推演系统。 公理系统的构成:(数学,物理,逻辑等都有自己公理系统。)
自然语言的歧义性、模糊性,不能使用在公理系统 例如:这里展示的是三个学生的作品。(有两种解释,应避免歧义的发生) 又例如:《围城》中的老科学家 更精准的人工语言:数学,计算机编程语言 语言的三要素:语音、词汇、语法(盲文,计算机编程语言没有语音) 例子说明公理系统的构成:
6.2 命题演算的公理系统L更详细公理系统L的信息可查阅A.G.Hamilton的Logic for mathematicians。 命题演算的公理系统L:
合式公式(well-formed formula)(wf.):合于形成规则的式子(相当于合乎语法的句子)。(这里公式是表达式,不是数学的公式) 6.3 命题演算公理系统L中的证明L中的证明: L的合式公式序列,其中每个合式公式满足下列条件之一:
这一序列中的最后一个合式公式称为L中的定理。
例子:
这章内容在语形的角度上,而第四章在语意的角度上 例,证(P1➝P1)
上述定理需要更专业知识证明,我们浅尝辄止则可。 6.4 命题演算公理系统L中的证明(续)例 证((¬P1)➝(P1➝P2))
上述证明无效,因L系统没有蕴涵连锁,所以任何直观、显然的东西,在这里是不允许的。必须按照3条公理模式和一个推演规则来进行。 正确的证明: 证((¬P1)➝(P1➝P2))
6.5 命题演算公理系统L中的推演L中的推演: 设Γ(伽玛γ的大写)是L中的合式公式(不必是L中的公理)的集合。Γ中的合式公式作为临时公理参与L中的证明,称为L中从Γ的推演,得到的结果A称为L中Γ的推论。 记为Γ┝(下标L符)A 例子:
(P1➝P2)┝(下标L符)(P1➝(P1➝P2)) 例 假设:
{((¬P1)➝(¬P2)), P2} ┝(下标L符) P1 L中的定理A可记为∅┝(下标L)A,或┝(下标L)A(逻辑内的东西) 第7讲 命题演算:公理系统,自然演绎系统7.1 公理系统出发点的延伸公理系统的构成:
命题演算的公理系统L:
延伸: 1.可用定义引入其他符号。可用初始符号定义其他符号及其形成规则 如:(设A, B, C是任意合式公式,下同)
已由定义引入的符号可用于定义更多符号。 由定义引入的新符号可与初始符号同等使用。 2.已证定理可与公理同等使用 如: 已证定理(模式)(A➝A)编为T1,则可有如下证明:(T,Theory缩写) 证 (P1➝P1)
3.已证新的推演规则可与原有推演规则同等使用 如:已证:(A➝B)和(B➝C)可得(A➝C)(假言三段论,HS),(这定理的证明过程可查阅A.G.Hamilton的Logic for mathematicians) 则可有以下证明: 证((¬P1)➝(P1➝P2))
公理系统出发点的延伸:
7.2 公理系统的评价
L系统的性质
L系统的可靠性和完全性使得:L的定理当且仅当是第四讲中的重言式, 即: L的定理集与第四讲中的重言式集完全相同。 公理系统例子:
L系统为什么要用这个3条公理模式和那个分离规则来作为它的出发点? 答:因为这几条,它可以用最简洁的方法,最大限度地覆盖所有的这个定理。你靠这个三条公理模式,加上那个分离规则,它刚好把所有定理都覆盖了,而且并没有超出它的范围,没有把这个非重言式也拿进来,就是它的定理刚好,正好是重言式,不比重言式少,也不比重言式多,而且它本身的公理还互相独立,它还一条都不多余。三条公理模式,加上那个分离规则构造成一个巧妙的系统。 7.3 公理系统的性质和评价及其意义公理系统能运用在数学、物理、逻辑等成熟的学科上。 公理系统在文科作整理尝试:
公理:各个数学分支都通用的一些最基本的东西,如等量代换 公设:用于某一门具体的数学分支一些最基本的东西 对于日常生活参照的意义:
7.4 命题演算的自然演绎系统公理系统的弱点:不够直观。自然演绎系统应运而生。 通过自然演绎系统进行证明和推演的步骤:
命题演算的自然演绎系统C
上面1. 2. 与公理系统L的一致 7.5 命题演算自然演绎系统中的证明和推演例 证(P1➝P1) 例 证((¬P1)➝(P1➝P2)) 例 证(P1➝(P2➝P1)) 例 证((P1➝(P2➝P3))➝((P1➝P2)➝(P1➝P3))) 例 证(((¬P1)➝(¬P2))➝(P2➝P1)) 通过自然演绎系统进行证明和推演的步骤:
命题演算的自然演绎系统C具有可靠性、完全性。 命题演算的自然演绎系统C与命题演算的公理系统L等价。即:二者的定理集完全相同。 第8讲 基本命题的构成8.1 基本命题的结构基本命题的组成部分:
主词和谓词都是词项。
8.2 词项的内涵和外延内涵:某一词项的含义,即该词项所指对象共同具有的特有属性。(什么是金属?具有导电,导热等性质的物质) 外延:某一词项所指的对象。(金属的外延是金银铜铁等) 内涵和外延之间有反变关系。 词项的限制:增加词项的内涵以缩小外延; 词项的扩大:减少词项的内涵以扩大外延。 例如,学校的外延:小学,中学,大学等。 学校的内涵:专门进行教育的机构 现在为学校加点内涵:专门进行高等教育的机构。 学校的外延缩小至:大学 8.3 词项的种类根据词项外延的数量情况,词项分为
8.4 词项间的关系词项间的关系:指词项外延之间的关系。 欧拉图解 1.全同(同一)关系 如,本学期选修逻辑学的50名学生,与今天逻辑学课上现场50名学生。(不管内涵是否一样) 如,中国的首都,与华北最大的城市。(内涵不一样,但外延指的是北京) 如,中国最大的城市,长江流域最大的城市。(内涵不一样,但外延指的是上海) 2.包含关系 如,S:中国的学校,P:中国的大学 3.包含于关系 如,S:中国的大学,P:中国的学校 4.交叉关系 如,S:北京人,P:学生。 5.全异关系 如,S:幼儿园学生,P:大学生
小结: 词项间的关系:
8.5 词项的定义定义:描述词项的内涵 定义的结构:被定义项,定义项 偶数 是能被2整除的数。 (被定义项)(定义项) 同一个词项可有不同的定义
定义的主要规则:
定义不是唯一获得知识的来源,(有靠实践得来的,如太阳,月亮等) 8.6 词项的划分划分:分类列举词项的外延。 划分的结构:母项,子项。 生物分为动物、植物、微生物、 (母项)(子项) 句子分为陈述句,疑问句,祈使句,感叹句。 (母项)(子项) 句子分为主语、谓语、宾语、补语、定语。(这不是划分,而是组成部分) 同一个词项可按不同标准作不同的划分。 划分可连续进行,即:子项可作为母项再次进行划分。(学校分为大学,中学,小学。大学划分为中国大学、美国大学等) 划分的主要规则:
8.7 谓词的分类谓词是什么东西什么样,说明事物情况,说明一种性质,说明一种关系。
一元谓词:每次需要一个主词与之配合,通常表示主词的某种性质; 多元(如二元,三元,...)谓词:每次需要多个(如两个,三个,...)主词与之配合,通常表示多个主词之间的某种关系。
三元的例子:福州在广州与上海之间。 8.8 量词例子:
“所有”,“有些”为量词,限定外延 量词:
特称(存在)量词的含义:至少存在一个(不排斥全部)。 单称量词通常处理为全称。(独一无二的为单称,如北京大学) 全称量词可省略。(如,金属是导体。特称量词不能省略,“有些人会游泳”省略成“人会游泳”)。 8.9 联词传统逻辑中,往往把“否定”分析为在性质命题内部与“肯定”相对的成分。 “肯定”和“否定”称为联词,表明主词和谓词之间具有肯定的联系或否定的联系。
小结: 基本命题的组成部分:
第9讲 传统逻辑中基本命题的推理9.1 基本命题的推理复合命题的推理:以复合命题为前提或结论,以命题联接词的性质为推理依据。 基本命题的推理:以基本命题为前提和结论,以基本命题的内部成分和结构为推理依据。 基本命题:本身不再包含其他命题的命题。 复合命题:由一个或多个基本命题加上命题联结词所构成的命题。 9.2 传统逻辑对基本命题的分析传统逻辑对性质命题的分析
根据量词(全称、特称)、联词(肯定、否定)的组合 性质命题分为:
AEIO源于拉丁字母,请记住其含义。 9.3 性质命题中主、谓词的周延周延:词项作为主词、谓词出现在性质命题中时,是否涉及到其全部外延,称为是否周延。(下面<u>加下划线</u>为周延)
关于词项周延的一般规则: 推理中,在前提中出现时不周延的词项,在结论中出现时也不得周延。 9.4 命题变形的推理1.换位法:
关于词项周延的一般规则: 推理中,在前提中出现时不周延的词项,在结论中出现时也不得周延。 错例:
2.换质法:
9.5 根据对当关系的推理逻辑方阵
9.6 三段论三段论: 由包含一个共同词项的两个性质命题作为前提,推出一个性质命题作为结论的推理形式。
三段论的结构: (先看结论)作为结论之主词的词项称为小词(S),作为结论之谓词的词项称为大词(P),(再到前提)只出现在前提中的词项称为中词(M)。 含有大词的前提称为大前提,含有小词的前提称为小前提。 9.7 三段论的式与格式:由作为大前提、小前提、结论的性质命题的种类而确定。
AAA...OOO,共4 * 4 * 4 = 64种
格:由中词、大词、小词在前提中的位置而确定。 共有4个格:
9.8 有效三段论的判定1.写成三段论的标准形式。 (鲁迅著作前后不一,上一句表示鲁迅全部著作,下一句为鲁迅一本著作) 2.若结论为肯定命题,则两个前提必定均为肯定命题;若结论为否定命题,则两个前提必定一为肯定命题、一为否定命题。 3.中词在前提中至少周延一次(中词是用来作媒介) 周延:词项作为主词、谓词出现在性质命题中时,是否涉及到其全部外延,称为是否周延。 4.小词、大词在结论中若周延,则其在前提中必须周延。 有效三段论的判定四条方法
三段论有效格式的特征 三段论的有效格式 弱称(上图带括号的):本来可以得到全称的,但是你现在给出是特称,它的有效性是由条件的。 不推荐背诵这三段论的有效格式,但推荐背诵有效三段论的判定四条方法 第10讲 基本命题的推理10.1 性质命题基本命题的组成部分:
一元谓词:每次需要一个主词与之配合,通常表示主词的某种性质; 多元(如二元,三元,...)谓词:每次需要多个(如两个,三个,...)主词与之配合,通常表示多个主词之间的某种关系。 性质命题:含有一元谓词的基本命题; 关系命题:含有多元谓词的基本命题。
量词∀和∃之间可以互相替换表达:
性质命题在数理逻辑中的表述
SAP与SOP,SEP与SIP的矛盾关系
10.2 主词非空的预设预设:预先的假设(说话人和听话人不言自明的东西)
全称命题推出存在命题时,须预设:前提中主词(S)不为空词项。 若前提中主词为空词项,则从全称命题到存在命题的推理不成立。 空词项:外延为空。(美国女总统,数学纯黄金) 例,美国外交官说“我不能竞选美国总统。”,在美国出生的人才有资格竞选总统,且他不是出生在美国。 不能直接从(∀x)(S(x)→P(x))(即A命题),推出(∃x)(S(x)∧P(x))(即I命题) 例,S(x):这人是美国女总统,P(X):这人是在美国出生的。 若从A命题推出I命题,须增加前提(∃x)(S(x)),即从(∀x)(S(X)→P(x))∧(∃x)(S(x)),推出(∃x)(S(x)∧P(x)) 例。对于上例,(∃x)(S(x)):至少有一个美国女总统。 上图中5个带括号的格式,在传统逻辑是可以的,但在严格地说,它们有条件。 三段论中,若小词为空词项,那么弱式将不成立。 10.3 关系命题的结构关系命题:含有多元谓词的基本命题,如二元关系命题: R(x, y):x对于y,有关系R R:谓词变元 x, y:个体变元 量词:∀,∃
例如: R:害怕 x:老鼠 y:猫 10.4 关系命题根据量词的推理
10.5 关系命题根据谓词性质的推理方法1.自返性
2.对称性
3.传递性
请注意: “关系命题根据谓词性质的推理方法”只是给出了一种方法,不是纯形式的逻辑推理。 10.6 谓词演算简介用于谓词演算的一阶语言 符号库: 合式公式:合于形成规则的式子(相当于合乎语法的句子)。(这里公式是表达式,不是数学的公式)
第11讲 非经典逻辑的初步11.1 非经典(非标准)逻辑
11.2 多值逻辑源于亚里士多德 如三值逻辑,命题的真值可取:
卢卡西维茨(1878-1956):1920年《论三值逻辑》,首次提出多值逻辑的系统 卢卡西维茨的卢卡西维茨的真值表 11.3 模糊逻辑即无穷多连续值逻辑:扎德(1921年生)于1965年提出模糊集合概念 模糊逻辑将模糊的东西变得精确 命题真值取值为“隶属度”,在[0,1]之间连续取值 11.4 模态逻辑含有必然、可能等模态(modal)词的命题及其推理 亚里士多德的模态三段论 刘易斯( 1883-1964) 于1914年构造模态命题演算系统 基本模态词:
根据模态命题之间的矛盾关系:
不包含模态词的命题可视为模态的特例:实然
11.5 规范逻辑含有必须、允许等规范词的规范命题及其推理,亦称道义逻辑、义务逻辑等。 冯、赖特(1916-2003)于1951年发表《规范逻辑》,并创立规范逻辑系统。 基本规范词:
Op:必须p,Pp:允许p,Fp:禁止p
根据规范命题之间的矛盾关系:
11.6 时态逻辑含有过去、现在、将来、永远等时态词的时态命题及其推理 亦称时间逻辑、时序逻辑等 普莱尔(1914-)于1957年建立时态逻辑的两个系统
时态命题中可引入模态命题,构成时态模态命题,将来可能等 规范逻辑、时态逻辑等都属于广义模态逻辑 11.7 弗协调逻辑亦称次协调逻辑、超协调逻辑、亚相容逻辑等 雅斯可夫斯基于1940年代末构造第一个次协调逻辑系统 达科斯塔(1929年生)建立更完善的次协调逻辑理论 协调(相容):不存在合式公式A使得A和(¬A)都是定理。 不足道(平庸):所有合式公式都是定理。 经典逻辑系统是协调而非不足道的。 若非协调则必定不足道(从相互矛盾的两个前提可以推出一切)。 弗协调:既非协调亦非不足道,即:存在合式公式A使得A和(¬A)都是定理,但并非所有合式公式都是定理。 在弗协调逻辑中:不矛盾律(¬(A∧¬A) )并非普遍有效;从相互矛盾的两个前提不能推出一切。 第12讲 余论12.1 演绎和归纳
完全归纳推理 归纳疑难 又称休谟(1711-1776)问题:
12.2 探求因果关系的逻辑方法1.求同法(契合法) 2.求异法(差异法) 3.求同求异并用法(契合差异并用法) 4.共变法 5.剩余法 12.3 证论和反驳论证: 根据已知为真的命题,通过推理确定某一命题的真实性。
推理:
论证:
论据必须是真 间接论证:
反驳:论证某一命题虚假,或确定某一论证不能成立。 归谬法:若A真,则引出矛盾:可见A假。 谬误
12.4 悖论悖论: 由其真可推出其假、由其假可推出其真的命题。 A与其自身的否定非A等值。 说谎者悖论: “我正在说谎。”“这句话是假的。” 解决:“不自指。” 理发师悖论: “某村理发师规定给并且只给任何不给自己刮胡子的村民刮胡子。” 解决:“不自指。” “不能用少于十八个汉字定义的最小整数。” 12.5 本课程《逻辑学概论》内容回顾
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