【原】数据结构与算法：12 数组与稀疏矩阵

12 数组与稀疏矩阵

知识结构：

图1 知识结构

1. 数组

1.1 数组的定义

数组是具有一定顺序关系的若干对象组成的集合，组成数组的对象称为数组元素。

例如：

• 向量对应一维数组

• 矩阵对应二维数组

数组名表示群体的共性，即具有同一种数据类型；

下标表示个体的个性，即各自占有独立的单元。

1.2 数组的存储

（1）维数组的定义

下标由个数组成的数组称为维数组。

例如：

//一维数组（线）
int[] a = new int[10];

//二维数组 （面）
int[ , ] a = new int[2,3];

//三维数组 （体），类比：书（体）【2.页码 3.行 4.列】
int[ , , ] a = new int[2,3,4];


（2）数组存储的特点

• 数组元素在内存中按顺序连续存储。
• 数组的存储分配按照行（C、C++、C#等）或列（Forturn等）进行。
• 数组名表示该数组的首地址，是常量。

（3）常用数组的存储

一维数组a[n]

各元素按下角标依次存放。

例：int[] a = new int[5];

图2 一维数组存储

二维数组a[m,n]

例：int[ , ] a = new int[2,3];

图3 二维数组存储

三维数组a[m,n,l]

第一维下标变化最慢，第三维（最后一维）下标变化最快。

例：int[ , , ] a = new int[2,3,4];

图4 三维数组的存储

注意：

C#中int[,]与int[][]定义数组的区别

• int[,] 行数，列数确定

static void Main(string[] args)
{

int[,] Arr = new int[2, 5] { { 1, 2, 3, 5, 6 }, { 1, 2, 3, 4, 5 } };

for (int i = 0; i < 2; ++i)
{
for (int j = 0; j < 5; ++j)
{
Console.Write(Convert.ToString(Arr[i, j]) + " ");
}
Console.WriteLine();
}
// 1 2 3 5 6
// 1 2 3 4 5
}


• int[][] 行数确定，列数不定

static void Main(string[] args)
{

int[][] Arr = new int[3][]; //表示含有三个一维数组的数组
Arr[0] = new int[5] { 1, 2, 3, 4, 5 };
Arr[1] = new int[2] { 0, 1 };
Arr[2] = new int[0] { };

for (int i = 0; i < Arr.Length; ++i)
{
foreach (int j in Arr[i])
{
Console.Write(j + " ");
}
Console.WriteLine();
}
// 1 2 3 4 5
// 0 1
//
}


1.3 数组的分类

数组可分为静态数组和动态数组两类。

（1）静态数组

在程序编译时分配空间的数组。

例：

//静态数组（声明之后数组长度不可改变）
int[] a = new int[10];


（2）动态数组

在程序运行时分配空间的数组（声明之后数组长度可根据问题而调整）。

图5 动态数组类图

using System;

namespace LinearStruct
{
/// <summary>
/// 动态数组的抽象数据类型实现
/// </summary>
/// <typeparam name="T">动态数组中元素的类型</typeparam>
public class DArray<T> where T : IComparable<T>
{
private T[] _array;

/// <summary>
/// 获取动态数组的当前长度
/// </summary>
public int Size { get; private set; }

/// <summary>
/// 初始化DArray类的新实例
/// </summary>
/// <param name="size">动态数组的初始长度</param>
public DArray(int size)
{
if (size <= 0)
throw new ArgumentOutOfRangeException();

Size = size;
_array = new T[Size];
}

/// <summary>
/// 改变动态数组的长度
/// </summary>
/// <param name="newSize">动态数组的新长度</param>
public void ReSize(int newSize)
{
if (newSize <= 0)
throw new ArgumentOutOfRangeException();

if (Size != newSize)
{
T[] newArray = new T[newSize];
int n = newSize < Size ? newSize : Size;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
newArray[i] = _array[i];
}
_array = newArray;
Size = newSize;
}
}

/// <summary>
/// 获取或设置指定索引处的元素
/// </summary>
/// <param name="index">要获得或设置的元素从零开始的索引</param>
/// <returns>指定索引处的元素</returns>
public T this[int index]
{
get
{
if (index < 0 || index > Size - 1)
throw new IndexOutOfRangeException();
return _array[index];
}
set
{
if (index < 0 || index > Size - 1)
throw new IndexOutOfRangeException();
_array[index] = value;
}
}
}
}


1.4 动态数组的应用

编写一段代码，要求输入一个整数N，用动态数组A来存放2~N之间所有5或7的倍数，输出该数组。

例如：N=100

则输出：5 7 10 14 15 20 21 25 28 30 35 40 42 45 49 50 55 56 60 63 65 70 75 77 80 84 85 90 91 95 98 100

参考界面如下：

图6 动态数组实验界面

static void Main(string[] args)
{
Console.WriteLine("N=");
string s = Console.ReadLine();
int n;
if (int.TryParse(s, out n))
{
DArray<int> arr = new DArray<int>(10);
int j = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
if (i % 5 == 0 || i % 7 == 0)
{
if (j == arr.Size)
arr.ReSize(arr.Size + 10);

arr[j] = i;
j++;
}
}
for (int i = 0; i < j; i++)
{
Console.Write(arr[i] + " ");
}
}
}


---

2. 稀疏矩阵

2.1 稀疏矩阵的定义与操作

（1）稀疏矩阵的定义

若矩阵中非零元素的个数远远小于零元素的个数，则称为稀疏矩阵。

例：

若用二维数组存储，则太浪费存储空间。

（2）稀疏矩阵的操作

• 获取矩阵的行数
• 获取矩阵的列数
• 获取或设置指定索引处的元素
• 矩阵加法
• 矩阵转置
• 矩阵乘法

图7 矩阵接口

namespace LinearStruct
{
/// <summary>
/// 矩阵的抽象数据类型
/// </summary>
public interface IMatrix<T>
{
/// <summary>
/// 获取矩阵的行数
/// </summary>
int Rows { get; }

/// <summary>
/// 获取矩阵的列数
/// </summary>
int Cols { get; }

/// <summary>
/// 获取或设置指定索引处的元素
/// </summary>
/// <param name="i">要获取或设置的元素从零开始的行索引</param>
/// <param name="j">要获取或设置的元素从零开始的列索引</param>
/// <returns></returns>
T this[int i, int j] { get; set; }

/// <summary>
/// 矩阵加法
/// </summary>
/// <param name="b">与之相加的另一个矩阵</param>
/// <returns>相加后的新矩阵</returns>
IMatrix<T> Add(IMatrix<T> b);

/// <summary>
/// 矩阵转置
/// </summary>
/// <returns>转置后的新矩阵</returns>
IMatrix<T> Transpose();

/// <summary>
/// 矩阵乘法
/// </summary>
/// <param name="b">与之右乘的另一个矩阵</param>
/// <returns>相乘后的新矩阵</returns>
IMatrix<T> Multiply(IMatrix<T> b);
}
}


2.2 稀疏矩阵的存储与实现

可以利用（Row，Col，Value）的方式存储和定位稀疏矩阵中的非零元素，这种存储稀疏矩阵结点的方式称为三元组（Triple）。

图8 稀疏矩阵结点的存储

利用顺序的方式进行存储：

图9 顺序方式存储稀疏矩阵

利用链式的方式进行存储：

图10 链式方式存储稀疏矩阵

（1）对结点的封装

图11 稀疏矩阵结点类图

using System;

namespace LinearStruct
{
/// <summary>
/// 稀疏矩阵结点
/// </summary>
public class Triple : IComparable<Triple>
{
/// <summary>
/// 获取结点所在矩阵中的行索引
/// </summary>
public int Row { get; }

/// <summary>
/// 获取结点所在矩阵中的列索引
/// </summary>
public int Col { get; }

/// <summary>
/// 获取或设置结点在矩阵中的值
/// </summary>
public double Value { get; set; }

/// <summary>
/// 初始化Triple类的新实例
/// </summary>
/// <param name="i">结点所在矩阵中的行索引</param>
/// <param name="j">结点所在矩阵中的列索引</param>
/// <param name="value">结点在矩阵中的值</param>
public Triple(int i, int j, double value)
{
if (i < 0 || j < 0)
throw new Exception("数组元素位置无效.");

Row = i;
Col = j;
Value = value;
}

/// <summary>
/// Triple类的输出字符串
/// </summary>
/// <returns>Triple类的输出字符串</returns>
public override string ToString()
{
return string.Format("({0},{1},{2})", Row, Col, Value);
}

/// <summary>
/// 比较三元组中数据的大小
/// </summary>
/// <param name="other">被比较的三元组</param>
/// <returns></returns>
public int CompareTo(Triple other)
{
if (Value < other.Value) return -1;
if (Value > other.Value) return 1;
return 0;
}
}
}


（2）对稀疏矩阵的封装

图12 稀疏矩阵类图

using System;

namespace LinearStruct
{
/// <summary>
/// 矩阵抽象数据类型的实现--稀疏矩阵
/// </summary>
public class SparseMatrix : IMatrix<double>
{
private readonly DLinkList<Triple> _lst;

/// <summary>
/// 获取稀疏矩阵的行数
/// </summary>
public int Rows { get; }

/// <summary>
/// 获取稀疏矩阵的列数
/// </summary>
public int Cols { get; }

/// <summary>
/// 初始化SparseMatrix类的新实例
/// </summary>
/// <param name="rows">稀疏矩阵的行数</param>
/// <param name="cols">稀疏矩阵的列数</param>
public SparseMatrix(int rows, int cols)
{
if (rows <= 0 || cols <= 0)
throw new ArgumentOutOfRangeException();
Rows = rows;
Cols = cols;
_lst = new DLinkList<Triple>();
}

private DNode<Triple> GetIndex(int i, int j)
{
DNode<Triple> temp = _lst.PHead;
while (temp != null)
{
if (temp.Data.Row == i && temp.Data.Col == j)
break;
temp = temp.Next;
}
return temp;
}

private void RemoveNode(DNode<Triple> node)
{
if (node.Next == null)
{
_lst.Remove(_lst.Length - 1);
}
else if (node.Prior == null)
{
_lst.Remove(0);
}
else
{
node.Prior.Next = node.Next;
node.Next.Prior = node.Prior;
}
}

/// <summary>
/// 获取或设置指定索引处的元素
/// </summary>
/// <param name="i">要获取或设置的元素从零开始的行索引</param>
/// <param name="j">要获取或设置的元素从零开始的列索引</param>
/// <returns></returns>
public double this[int i, int j]
{
get
{
if (i < 0 || i > Rows - 1 || j < 0 || j > Cols - 1)
throw new IndexOutOfRangeException();
DNode<Triple> node = GetIndex(i, j);

return node == null ? 0.0 : node.Data.Value;
}
set
{
if (i < 0 || i > Rows - 1 || j < 0 || j > Cols - 1)
throw new IndexOutOfRangeException();

DNode<Triple> node = GetIndex(i, j);
if (node == null)
{
if (value != 0.0)
{
_lst.InsertAtRear(new Triple(i, j, value));
}
}
else
{
if (value != 0.0)
{
node.Data.Value = value;
}
else
{
RemoveNode(node);
}
}
}
}

/// <summary>
/// 矩阵加法
/// </summary>
/// <param name="b">与之相加的另一个矩阵</param>
/// <returns>相加后的新矩阵</returns>
public SparseMatrix Add(SparseMatrix b)
{
if (b == null)
throw new ArgumentNullException();
if (b.Rows != Rows || b.Cols != Cols)
throw new Exception("两矩阵不能相加.");

SparseMatrix temp = new SparseMatrix(Rows, Cols);
for (int i = 0; i < Rows; i++)
for (int j = 0; j < Cols; j++)
temp[i, j] = this[i, j] + b[i, j];
return temp;
}

/// <summary>
/// 矩阵转置
/// </summary>
/// <returns>转置后的新矩阵</returns>
public SparseMatrix Transpose()
{
SparseMatrix temp = new SparseMatrix(Cols, Rows);
for (int i = 0; i < temp.Rows; i++)
for (int j = 0; j < temp.Cols; j++)
temp[i, j] = this[j, i];
return temp;
}

/// <summary>
/// 矩阵乘法
/// </summary>
/// <param name="b">与之右乘的另一个矩阵</param>
/// <returns>相乘后的新矩阵</returns>
public SparseMatrix Multiply(SparseMatrix b)
{
if (b == null)
throw new ArgumentNullException();
if (Cols != b.Rows)
throw new Exception("两矩阵不能相乘.");

SparseMatrix temp = new SparseMatrix(Rows, b.Cols);
for (int i = 0; i < Rows; i++)
{
for (int j = 0; j < b.Cols; j++)
{
double value = 0.0;
for (int k = 0; k < Cols; k++)
value += this[i, k] * b[k, j];

temp[i, j] = value;
}
}
return temp;
}

/// <summary>
/// 矩阵加法运算
/// </summary>
/// <param name="a">第一个矩阵</param>
/// <param name="b">第二个矩阵</param>
/// <returns>相加后的新矩阵</returns>
public static SparseMatrix operator +(SparseMatrix a, SparseMatrix b)
{
if (a == null || b == null)
throw new ArgumentNullException();
return a.Add(b);
}

/// <summary>
/// 矩阵乘法运算
/// </summary>
/// <param name="a">左边的矩阵</param>
/// <param name="b">右边的矩阵</param>
/// <returns>相乘后的新矩阵</returns>
public static SparseMatrix operator *(SparseMatrix a, SparseMatrix b)
{
if (a == null || b == null)
throw new ArgumentNullException();
return a.Multiply(b);
}

/// <summary>
/// SparseMatrix类的输出字符串
/// </summary>
/// <returns>SparseMatrix类的输出字符串</returns>
public override string ToString()
{
string str = string.Empty;
DNode<Triple> temp = _lst.PHead;
while (temp != null)
{
str += temp.Data + "\n";
temp = temp.Next;
}
return str;
}

IMatrix<double> IMatrix<double>.Add(IMatrix<double> b)
{
return Add((SparseMatrix)b);
}

IMatrix<double> IMatrix<double>.Transpose()
{
return Transpose();
}

IMatrix<double> IMatrix<double>.Multiply(IMatrix<double> b)
{
return Multiply((SparseMatrix)b);
}
}
}


举例：

static void Main(string[] args)
{
IMatrix<double> a = new SparseMatrix(2, 3);
IMatrix<double> b = new SparseMatrix(3, 2);
SparseMatrix c = new SparseMatrix(2, 2);
a[0, 2] = 1;
a[1, 0] = 1;
b[1, 1] = 4;
b[2, 0] = 1;
c[0, 1] = 1;
c[1, 0] = 1;
SparseMatrix d = (SparseMatrix)a * (SparseMatrix)b + c;
IMatrix<double> e = a.Multiply(b).Add(c);
Console.WriteLine("D:\n{0}", d);
Console.WriteLine("E:\n{0}", e);

// D:
// (0, 0, 1)
// (0, 1, 1)
// (1, 0, 1)
// E:
// (0, 0, 1)
// (0, 1, 1)
// (1, 0, 1)
}


---