 数列递推公式 我们都知道， 数列的给出有三种方式， 穷举、通项和递推。 做多了数列就感觉， 穷举单纯的是不是一个笑话？ 见过一项一项给出项来的么！ 通项又太直接了， 给了通项， 总感觉对你的考验， 缺少了点什么…… 所以， 数列的递推公式， 成了每个学数列的孩子， 怎么也绕不过的坎。 其实， 递推公式， 我们说的实在太多了， 连高观点下的， “不动点”和“特征根”， 也都早早被我们拿下。 那数列递推， 还能剩下啥？ 想了想， 便也只有周期了 …… 周期数列 对于一个数列{an},如果存在一个常数T， 对于任意正整数n>N，恒有an+T=an, 则称数列{an}是从第n项起的周期数列。 T的最小值为最小正周期，简称周期。 ①若N=1,称{an}为纯周期数列； ②若N>2,称{an}为混周期数列。 01 和等差数列相对应的， 就是最常见的， 等和型递推式了， 这也是较为常见的， 摆动数列的递推式。 只是连续k项之和为定值， 其实可能很多的同学， 并不会想的太多。 上述结论看起来可能不太舒服的， 但其实， 意思还是挺清晰。 简单可以这样说： 若一个数列任意连续k项之和为定值， 则该数列为周期数列， 且周期T=k. 02 与等比数列相对应的， 当然就是等积型了。 也是一个挺好的周期性质， 只是别忘了， 和等差一样， 那个连续多项之积的结论： 若一个数列任意连续k项之积为定值， 则该数列为周期数列， 且周期T=k. 其实， 类似等比的， 还有一个非常好看的结论： 这个结论， 是不是与“等比中项” 有些相似了呢。 03
其实这种， 将等和与等差相联系的式子， 在平时还是挺常见的， 就像是下面的这个题：
这里直接得到的周期， 可能让很多孩子迷惑不解。 那么有现在这个清楚的结论， 一切又都信手拈来。 所以如果有可能， 希望你也能好好记住， 上面的这组结论： 如果一个数列连续k项之积 与这连续k项之和的比值为定值， 则数列必为周期数列， 且周期T=k. 有了这样清晰的思路， 一切都是水到渠成， 瞬间秒解。 04
其实， 看到这个递推式， 很自然地就想起了， an=an-1+an-2, 斐波那契数列 这个与黄金分割， 无限接近、 近乎完美生活化的数列递推。
斐波那契数列 我没有象很多人一样， 无聊地绞尽脑汁， 想方设法地求着它的通项公式， 而是更加注重， 中学数学里， 它应用的样子。 就像是那个， 多年来一直萦绕脑海里， 那个“走台阶”的题。 但是现在， 不想告诉你。
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其实很多人可能会都记得， 这种分式递推最高端的， 特征根。 确实的， 我也是一直钟情， 高观点下的那些数学思维。 只是现在想强调的， 如果遇到特征方程无解， 就要考虑周期的特征。 就象下面这个思路， 如果没有周期的感觉稳稳的在心里， 这种思路的推导， 哪里还会那么有底气？
上面列举了13种周期， 应该都是中学数列常见的。 有了周期， 基本上数列的主要问题， 数列专题就做的很完善了。 希望学习数列的孩子， 有缘翻到“素人素言”， 学习素言的经典。 相关链接： |
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