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物理对象与数学模型

2020-10-26  zjshzq

针对物理对象建立数学模型时,有个原则性问题:建模不仅与物理对象本身的特性有关,还与应用模型的目的和条件有关。换句话说,建模要考虑客观对象和主观需求两个方面的问题。

最简单的模型是线性模型。如线性代数模型、线性微分方程。线性模型一般适用于自变量变化范围不大的情况。例如,把工艺参数控制在某个工作点附近波动时,就可以采用线性模型。线性模型往往可以逼近非线性对象——如果不是这样,微积分也就不会产生了。线性模型的数学工具相当丰富和成熟,能用线性模型尽量用线性模型。

当对象状态范围变化较大时,一般就需要非线性模型了。比如,把生产过程的工作点从一个位置移动到另外一个位置时。但是,用还是不用,本质上决定于需要还是不需要。范围大了以后,线性模型的误差就可能增大;误差对实际工作有显著影响时,就有采用非线性模型的必要了。但是,非线性模型的复杂程度可能会超出人们的预料、引发预料之外的问题,应用的时候还是要慎重。

我们说的非线性模型,往往还是连续的。如果模型对象的范围再大,就模型的有效性会遭遇边界制约,原理会发生变化。这个时候,就可能需要采用混杂系统描述对象了。在不同的空间范围内,采用不同的描述方法。采用混杂系统时,“解方程”的做法可能就不适合了,往往只能采用一些其他的办法。如模拟仿真。

在系统范围扩大、控制要求增多的过程中,还会带来另外一种变化:变量数目的增多。或者说,足以产生影响的因素越来越多。系统复杂到一定程度之后,就要采用系统论的方法:如大系统分解成小系统,分而治之。这个时候,系统最优和局部最优的问题就会变得突出了。

这种趋势继续发展时,影响因素越来越多。有些影响因素的作用不清、甚至检测不到。这个时候,就要用混沌或概率模型来描述对象了。

工程师建模以解决问题为目的。“解决问题”与“对象描述准确”并不总是一致的。模型复杂了不利于处理问题。所以,在能够解决问题的前提下,应该尽量选择简单模型。

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