【原】干货 | 漫话锁相环——开环频率特性与闭环频率特性的联系

前面三个锁相环设计的例子（频率合成器、频率解调电路、载波同步电路）实际上代表了锁相环的三种典型应用与两种典型设计方法。

三种典型应用是频率合成、频率解调与载波同步。其中频率解调电路中的锁相环工作在调制跟踪状态，这种状态的主要特点是锁相环的闭环带宽远大于调制信号带宽。载波同步电路中的锁相环则工作在载波跟踪状态，其主要特点就是锁相环的闭环带宽远小于调制信号带宽。从这个角度来说，频率合成也可以视为一种载波跟踪环。

这两种结构都可以通过锁相环的开环频率特性或者闭环频率特性进行设计，其主要目标就是在给定的外部工作条件下使得锁相环的闭环带宽与阻尼都符合预定要求。下面简单分析二阶与三阶锁相环的开环频率特性与闭环频率特性之间的关系。

二阶锁相环开环频率特性与闭环频率特性的关系

对于常见的采用超前滞后环路滤波器的二阶锁相环，其开环传递函数如下。

开环幅频特性的伯德图如下，其中黄色是鉴相器、压控振荡器与分频器的总幅频特性，红色是两者合成后的三阶锁相环的开环幅频特性。

闭环传递函数为

其中的近似条件是K>>w₁，对于大部分现代锁相环这个条件都成立。

闭环幅频特性如下：

下面将二阶锁相环的开环传递函数与闭环传递函数联系起来。

在上述锁相环的开环幅频特性中有w₁=w₂w_T/K，再令

并代入闭环表达式可以得到：

由这两个式子可知，二阶锁相环闭环特性中的自然频率w_n与开环特性中的穿越频率w_T在数值上是相当接近的。例如对于常见的锁相环，阻尼因子ζ=0.7左右，对应的p约为2，w_n≈0.7w_T。若定义闭环幅频特性中的-3dB频率为锁相环的闭环带宽，则当ζ=0.7左右时w_-3dB≈2w_n≈1.4w_T。

另外由闭环幅频特性曲线可见，阻尼因子太小则谐振峰突出，系统稳定性欠佳。阻尼因子太大则高频衰减变缓，系统响应的快速性等特性将变差。所以锁相环设计中常常取阻尼因子ζ=0.7左右。

三阶锁相环开环频率特性与闭环频率特性的关系

采用超前滞后环路滤波器的三阶锁相环的开环传递函数如下。

其伯德图如下：

令其中w₂=w_T/p、w₃=pw_T，则有 ，闭环传递函数为

其中的近似条件是K>>w_T，对于大部分现代锁相环这个条件都成立。

据此可以画出三阶锁相环的闭环幅频特性如下：

由此图可见，三阶锁相环在p²（也就是w₃/w₂）大于5以后闭环特性的谐振峰不高，说明系统具有较好的稳定性，但w₃/w₂小于5以后谐振峰明显加大，意味着系统的稳定性变差，所以在设计中一般总是令w₃/w₂在5~20之间。

另外，三阶锁相环的闭环带宽w_-3dB与开环特性的穿越频率w_T相差不大（在w₃/w₂=10时w_-3dB≈0.8w_T），所以在具体设计时常常用穿越频率替代系统的闭环带宽。