【原】数学建模视频课程第 4 辑：数学建模中的强力方法

图1 第4辑各讲逻辑承接框图， 读者可以参考此图制定个性化学习顺序.

第 37 讲：活动标架法  
——以求取等宽图形方程为例

学习目标：

1. 能够为平面曲线设置活动标架。
2. 能够利用活动标架推导目标曲线所满足的条件方程。
3. 能够基于条件方程，利用三角函数得到等宽曲线的轨迹方程。
4. 能利用叠加法将简单等宽图形组合构造为复杂等宽图形。

基于高中课内内容：

1. 平面向量
2. 导数及其应用

视频链接：

第 38 讲：梯度下降法（1）
——梯度与 Lagrange 乘数法

学习目标：

1. 能够利用向量解释梯度的几何意义。
2. 能够直观解释 Lagrange 乘数法的直观意义。
3. 能够利用 Lagrange 乘数法解决标准的非线性规划问题。

基于高中课内内容：

1. 平面向量与空间向量
2. 导数及其应用

视频链接：

第 39 讲：梯度下降法（2）
——梯度下降与动量 BP 神经网络

学习目标：

1. 会用梯度下降法解方程（组）的数值解。
2. 能够理解神经网络的构造原理和万有逼近定理。
3. 能够解释最小二乘法和神经网络之间的关系。

基于高中课内内容：

1. 平面向量与空间向量
2. 导数及其应用

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第 40 讲：图片压缩、渗流与重整化方法

学习目标：

1. 能够理解利用最大池化进行图片压缩的原理。
2. 能够理解重整化方法的使用前提和基本假设。
3. 能够利用重整化方法计算渗流理论的临界概率。

基于高中课内内容：

1. 概率统计
2. 计数原理

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第 41 讲：数据直径、凸分析与万有覆叠

学习目标：

1. 能够理解数据直径的定义及其重要意义。
2. 掌握容格定理及其前述定理的结论，并能够利用这些结论分析一般的凸集合。
3. 理解容格定理的证明路径及方法，最好可以独立复现证明过程。

基于高中课内内容：

1. 不等式
2. 立体几何（包括空间向量）

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第 42 讲：图论方法  
——Kruskal 算法、对偶图、最大流最小割

学习目标：

1. 能够将实际问题转化为图论问题。
2. 掌握计算最小加权树的 Kruskal 算法，并理解其贪心原理。
3. 能够利用对偶图和图的染色方法证明艺廊定理。
4. 能够利用最大流最小割方法求解定向网络中的最大流问题。

基于高中课内内容：

• 数学归纳法

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第 43 讲：信息熵与最优编码（1）
——信息熵、随机森林与平均熵不等式

学习目标：

1. 掌握信息熵的概念，理解信息熵作为“衡量不确定性大小”的意义。
2. 理解互信息、相对熵的概念，并能利用它们构造随机森林实现数据画像。
3. 能够利用詹生不等式证明平均熵不等式。

基于高中课内内容：

1. 均值不等式
2. 导数及其应用
3. 离散随机变量的分布列及其数字特征

视频链接：

第 44 讲：信息熵与最优编码（2）
——Kraft 不等式与最优编码定理

学习目标：

1. 理解编码、唯一可译码和即时码的概念，并能够举例说明它们之间的区别。
2. 能够利用进制方法证明 Kraft 不等式。
3. 能够将最优编码问题转化为非线性规划问题。
4. 能够利用 Lagrange 乘数法及不等式放缩法推出最优编码定理。
5. 能够使用最优编码定理实现对英文文段的压缩。

基于高中课内内容：

1. 均值不等式
2. 导数及其应用
3. 离散随机变量的分布列及其数字特征
4. Lagrange 乘数法（见第 38 讲）

视频链接：

第 45 讲：数据分类（1）
——K-Means 与线性可分支持向量机

学习目标：

1. 能够理解并区分有监督分类器和无监督分类器，并举例说明它们的应用场景。
2. 能够以较少的迭代次数实现平面数据点集的 K-Means 聚类。
3. 理解线性可分支持向量机的几何原理并将其转化为简单的非线性规划问题。
4. 能够手算完成简单线性可分支持向量机的计算，明确各参数的计算方法。

基于高中课内内容：

1. 解析几何
2. 平面向量
3. 不等式和简单的线性规划

视频链接：

第 46 讲：数据分类（2）
——线性不可分的 SVM 与进制戏法

学习目标：

1. 理解低维空间中的线性不可分问题可以通过升维变为高维空间中的线性可分问题。
2. 对于简单的平面线性不可分问题，能够构造升维映射变为三维空间中的线性可分问题。
3. 能够理解 Lagrange 对偶，并利用 Lagrange 对偶将线性可分 SVM 推广到高维。
4. 能够利用高斯径向基核函数实现对于低维线性不可分数据的有监督分类。
5. 能够利用进制方法及二分类支持向量机，高效解决一般的 K 分类。

基于高中课内内容：

1. 平面向量与空间向量
2. 导数及其应用
3. 解析几何
4. 基本线性代数（非高中课内内容）
5. 进制转化（初中内容）
6. Lagrange 乘数法（见第 38 讲）

视频链接：

作者说明

本系列视频是《数学建模视频课程》，配套国家课程标准，只需高中课内知识水平即可掌握，适合全国高中生及低年级本科生学习。

本视频课程共企划为 4 个专辑，在开发期间陆续通过 B 站公开发布。

本课程配套教材《面向建模的数学》将于 2020 年 9 月份前后由清华大学出版社出版，该书由林群院士作序，张平文院士和国家课标组长王尚志教授作推荐词。

欢迎各位朋友关注和交流。

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